PAROVI(ZJNU 1830)

题目大意

对于\(1\)到\(n\)的数字，我们称二元组\((x,y)\)为质数对当且仅当\((x,y)=1\)。现在你要取若干组质数对使得\(\forall i\in[2,n]\)，都不满足\(x,y<i\)和\(x,y>=i\)，问有多少种质数对的取法。\((n<=20)\)

思路

由于直接做有点抽象，于是我们考虑容斥。首先我们可以\(O(n^4)\)求出所有区间的质数对的个数，然后用状压枚举出满足条件的\(i\)，对于这样的几个\(i\)，我们能算出使它们满足条件的方案数，最后再利用一下容斥的性质，就能轻松\(AC\)惹~

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long mod=1e9;
int sum[25][25];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
long long poww(long long a,long long n)
{
	long long ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	if(n==1)
	{
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			for(int k=i;k<=j;k++)
				for(int l=k+1;l<=j;l++)
					if(gcd(k,l)==1)sum[i][j]++;
	long long ans=0;
	vector<int>v;
	for(int i=0;i<(1<<(n-1));i++)
	{
		v.clear();
		int cnt=0;
		int anss=0;
		v.push_back(1);
		for(int j=0;j<n-1;j++)
		{
			if((1<<j)&i)
			{
				v.push_back(j+2);
				cnt++;
			}
		}
		for(int j=1;j<(int)v.size();j++)
			anss+=sum[v[j-1]][v[j]-1];
		anss+=sum[v[cnt]][n];
		if(cnt&1)ans=(ans-poww(2,anss)+1+mod)%mod;
		else ans=(ans+poww(2,anss)-1+mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}