莫比乌斯反演定理证明

首先证明一下定理一：

F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(nd)F(d)=∑d|nμ(d)f(nd)

证明这个东西我们需要用到另一个证明详见：http://blog.csdn.net/jeremygjy/article/details/46121323
可以知道{∑d|nμ(d)=0∑d|nμ(d)=1(n≠1)(n=1)前提是n不为1
那么我们就有

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)

那么此时当且仅当k=n时才会有∑d|nkμ(d)=1那么∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)

下面我们来证明定理二：

F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)

同样的利用上面提供的证明

f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)=∑k=1+∞μ(k)F(kn)=∑k=1+∞μ(k)∑kn|tf(t)=∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)

那么当且仅当t=n时才会有∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=1那么此时

∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=f(n)

获证
我恨PoPoQQQ为什们没有给出形式2.。。。。。。坑死了证了好久-——- 反正很久就是了