Kosaraju 求强连通块

// g 是原图，g2 是反图

void dfs1(int u) {
  vis[u] = true;
  for (int v : g[u])
    if (!vis[v]) dfs1(v);
  s.push_back(u);
}

void dfs2(int u) {
  color[u] = sccCnt;
  for (int v : g2[u])
    if (!color[v]) dfs2(v);
}

void kosaraju() {
  sccCnt = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if (!vis[i]) dfs1(i);
  for (int i = n; i >= 1; --i)
    if (!color[s[i]]) {
      ++sccCnt;
      dfs2(s[i]);
    }
}

这是 Kosaraju，码搬自 oiwiki。该算法依靠两次简单的 DFS 实现：

第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有未访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历．

第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS．这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量．对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程．

正确性证明：第一次 DFS，设有编号小的点 \(x\)，标号大的点 \(y\)。有两种情况：要么 \(y\) 是 \(x\) 的祖先点，即 \(y\) 可以走到 \(x\)；要么 \(y\) 走不到 \(x\)，但 \(x\) 先遍历。\(y > x\) 所以 \(y\) 不可能走到 \(x\)。

第二次 DFS，这次 DFS 从大搜到小，设从 \(y\) 开始搜，搜到了 \(x\)，则由于是反图有 \(x \to y\)，如果这对 \((x,y)\) 在第一次 DFS 属于第一种情况，则有 \(y \to x\)，这就符合强连通分量了；如果属于第二种情况（假设），那么 \(x\) 比 \(y\) 先遍历，因此在遍历的时候一定会搜到 \(x\) 到 \(y\) 的路径，结果标号会 \(x > y\)，与定义矛盾。因此这样搜出来的一定是强连通分量。

感觉是一种很神奇的方法。