题解：P11696 [JRKSJ ExR] 七影蝶

我是区。

P11696 [JRKSJ ExR] 七影蝶

Subtask 4,6：\(O(nlog^2V)\)

拆位，\(a_i+j\) 的第 k 位为 1 可以转化为 j 的后 k 位在一个或两个值域区间内，因此能使第 k 位为 1 的位置可以用若干个区间表示出来，区间贡献 +1，拍到线段树上。建主席树，有 \(logV\) 个版本，第 \(i\) 个版本维护值域 \([0,2^i)\)，左右都连第 \(i-1\) 版本。

时空都是 \(O(nlog^2V)\)，视 nq 同阶。搬一下出题人的代码。

正解 \(O(nlogV)\)

首先有个结论：第 \(k+1\) 位对应的贡献区间完全包括第 \(k\) 位对应的贡献区间。

---

证明:

第 \(k\) 层在域 \([0, 2^k)\) 上的端点集为 \(B_k = \{(-a_i)\bmod 2^k\}\)（端点组成的区间左闭右开）。把它复制接到后面，得到域 \([0,2^{k+1})\) 上的"复制端点集" \(C_k = B_k \cup (B_k + 2^k)\)。第 \(k+1\) 层的端点集为 \(B_{k+1} = \{(-a_i)\bmod 2^{k+1}\}\)。

对任意 \(a_i\)，设 \(p = (-a_i)\bmod 2^k\)。则 \((-a_i)\bmod 2^{k+1}\) 在 \([0,2^{k+1})\) 中与 \(p\) 同余于模 \(2^k\)，故只能是 \(p\) 或 \(p+2^k\)，二者都属于 \(C_k\)。

因此 \(B_{k+1} \subseteq C_k\)。即第 \(k+1\) 位的贡献区间端点集合是第 \(k\) 位的子集。

端点集越小，划分越粗（断点少 → 段大）。\(B_{k+1} \subseteq C_k\) 意味着 \(B_{k+1}\) 诱导的划分比 \(C_k\) 诱导的划分更粗。而 \(C_k\) 诱导的划分恰好就是第 \(k\) 层的两份复制。粗划分的每条段是若干细划分段的并，即细段整条落在粗段里——这就是"第 \(k\) 层的所有区间都被某个第 \(k+1\) 层区间完全包含"。

直观图：

可以发现无论取绿色箭头分割的中间一段还是旁边两端，都包括完整的红色块。

---

因此将原本贡献的可交区间，拆成不相交的区间（原本重复的部分计到区间的值里），维护区间的最大值，每一次进入到下一位的时候，用贡献区间内的最大值加上本身的区间值。这个可以线性扫。这样就不用主席树了，每次合并区间得到新序列。

将所有位都处理完之后，查询就是在最终得到的序列上 RMQ。但是有个问题是 \(L\) 和 \(R\) 不一定为整块端点，那就得查询两边一堆散块和中间一堆整块，散块的查询需要往下递归，就得用 \(O(n)−O(1)\) RMQ，但是我们可以绕过这个东西：直接强制让 \(L\) 和 \(R+1\) 成为整块端点（注意左闭右开），然后就可以直接查询整块 RMQ 了，这个直接用普通 st 表维护一下即可。