进制基础及位运算

编码基础与位运算

进制转换

1. \(k\) 进制转十进制

幂乘法

\[(a_{n-1} a_{n-2} … a_0)_k = (\sum_{i=0}^{n-1} a_i \times k^i)_{10} \]

2. 十进制转 \(k\) 进制

短除法

被除数 (除以2为例，替换成\(k\))	余数
123	1
61	1
30	0
15	1
7	1
3	1
1	1

将余数列颠倒得到结果:

\[(123)_{10}=(1111011)_{2} \]

3. 十六/八进制转二进制

拼接法

1	2	7
001	010	111

连接去除前导零后得:

\[(127)_{8}=(1010111)_{10} \]

1	2	7
0001	0010	0111

同理连接去除前导零后得:

\[(127)_{16}=(100100111)_{10} \]

4. 二进制转十六/八进制

分割法

001	010	111
1	2	7

从最后\(3\)位起每\(3\)位转换成八进制，最后不足\(3\)位补前导零:

\[(1010111)_{10}=(127)_{8} \]

0001	0010	0111
1	2	7

从最后\(4\)位起每\(4\)位转换成八进制，最后不足\(4\)位补前导零:

\[(100100111)_{10}= (127)_{16} \]

5.不同进制在c语言中的表示。

无前缀表示十进制，0前缀表示八进制，0x前缀表示十六进制，0b前缀表示二进制。

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 11, b = 011, c = 0x11, d = 0b11;
	printf("%d %d %d", a, b, c);
	return 0;
}

无符号整数的表示

直接转换二进制

有符号整数的表示

以\(32\)位的有符号整数为例。

我们用第一位作为符号位表示正负，0正1负，余下的位表达数字。

我们确定符号位后将数字转换为\(31\)位的二进制，如果是正数保持原样，如果是负数。将其+1后除符号位取反。

布尔的表示

一般情况下以一个字节储存，只有0，1两个值，分别表示真，假。对于其他类型转换bool时，二进制非全0为1，反之为0。

字符的表示

采用ascii编码。

位运算

基本运用

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 0b110101, b = 0b101100;
	printf("%d\n", a & b); // 位与，a和b二进制均为1的位为1，反之为0，c = 0b100100
	printf("%d\n", a | b); // 位或，a和b二进制均为0的位为0，反之为1，c = 0b111101
	printf("%d\n", a ^ b); // 位异或，a和b二进制位相同为0，反之为1，c = 0b011001
	printf("%d\n", ~(-2)); // 位取反，将该数储存的二进制形式每位取反
	printf("%d\n", a >> 1); // 位右移，将二进制整体向右移动一位，在前方补0
	printf("%d\n", a << 1); // 位左移，将二进制整体向左移动一位，在后方补0
	return 0;
}

位左移运用

a << k // 将a乘以2^k

1 << n // 快速计算2^n，或获取一个仅第n位为1其他位为0的二进制数

(1 << k) - 1 // 获取一个仅含k个1的二进制数

位右移应用

\[(n >> k) \Leftrightarrow \lfloor \frac{n}{2^k} \rfloor \]

位与应用

取出

\[n \& 1 \Leftrightarrow n \ mod \ 2 \]

(n >> k) & 1 // 获取二进制下第k位

n & ((1 << k) - 1) // 获取二进制后k位

位或应用

设1

n | (1 << k) // 将二进制第k位设为1

n | ((1 << k) - 1) // 将二进制后k位设为1

异或运算

交换

有\(0 \ xor 1=1\) ，\(1 \ xor 1=0\)

n ^ (1 << k) // 将二进制第k位取反

n ^ ((1 << k) - 1)) // 将二进制后k位取反

void swap(int &a, int &b) {
  a ^= b ^= a ^= b;
} // 交换a，b的值

位非的应用

\(~(-1)=0\)

~(1 << k) // 获取一个除第k位为0，其他位为1的二进制数

n & (~(1 << k)) // 将二进制第k位设0

快速幂

int quickpow(int a, int b) {
	int ans = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		ans *= a;
		a *= 2;
	}
	return ans;
}