坐标系和向量

本文向量采用行向量，左手坐标系

坐标系

世界坐标系（World Space）

物体坐标系（Object Space）

3D世界中，每个物体有自己的原点和坐标轴。

摄像机坐标系（Camera Space）

惯性坐标系（Inheritance Space）

为了简化World Space 到Object Space 的转换。

惯性坐标系的原点与Object Space 的原点重合，轴与World Space 平行。

为什么引入Inheritance Space?(两步走战略)

因为从Object Space 到Inheritance Space 只需旋转，从Inheritance Space 到World Space只要平移。

向量

描述方向与长度。(点描述位置)

向量运算

零向量

负向量

向量大小

\[\bold{v}=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \]

向量在x，y，z轴的投影。

标量与向量的乘法

几何解释

向量乘以标量k的效果是对向量进行缩放。

标准化向量

得到方向与原向量相同的单位向量。

向量加减法

向量a加向量b:

\[\begin{bmatrix} a_1 \\a_2 \\a_3 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} b_1 \\b_2 \\b_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\a_2 + b_2\\a_3 + b_3 \end{bmatrix} \]

几何解释

三角形法则

一个点到另一个点的向量

两点间的距离即是该向量的模

向量点乘

向量a点乘向量b

\[\begin{bmatrix} a_1 \\a_2 \\a_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\b_2 \\b_3 \end{bmatrix}= a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \]

几何解释

描述两个向量的相似程度，根据结果判断两向量的前后关系

\[\bold{a}\cdot\bold{b}=|a||b|\cos\theta \]

向量投影

任意两个向量v和n，能将v分解为 \(v_\parallel\)和\(v_\perp\)，它们分别平行和垂直于n,并满足v = \(v_\parallel\)+\(v_\perp\)。一般称\(v_\parallel\)为v在n 上的投影。

向量叉乘

向量a叉乘b:

\[\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1z_2-z_1y_2\\z_1x_2-x_1z_2\\x_1y_2-y_1x_2\end{bmatrix} \]

几何解释

右手定则。

以a,b为边的平行四边形的面积：

\[|\bold{a}\times\bold{b}| = |\bold{a}| |\bold{b}|\sin\theta \]

判断两个向量的左右关系

应用

判断一个点是否在三角形内: 利用每个点P减去三角形三个点得到3个向量，分别于三角形三条向量（统一顺时针或逆时针方向）叉乘得到结果符号相同，则P在三角形内。