洛谷 - Sdchr 的邀请赛 T1 取石子

 

    比赛的时候都推出来了和 质因子的指数和有关，硬是没做出来QWQ，我傻死算了

 

    但其实这是一个结论题，因为这本来就是阶梯NIM游戏的模型。阶梯NIM游戏是指，有 n+1 阶台阶(0 ~ n)，每阶上都有若干堆石子，每次操作从第i(i>0)阶的某一堆拿不超过这一堆数量的石子放到第i-1阶的某一堆中，不能操作者输。

    显然普通的nim游戏就是1阶nim，拿到0阶就相当于扔了。、。。。

    虽然我也不知道是怎么证的，但是结论就是： 当前游戏是必败态当且仅当 所有奇数阶上的每堆石子的异或和为0.

 

     所以这个题xjb讨论计数一下就好啦QWQ，(我讨厌结论题QWQ)

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000,ha=998244353;
inline int add(int x,int y){ x+=y; return x>=ha?x-ha:x;}
inline void ADD(int &x,int y){ x+=y; if(x>=ha) x-=ha;}
inline int ksm(int x,int y){
	int an=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*(ll)x%ha) if(y&1) an=an*(ll)x%ha;
	return an;
}

int zs[maxn/5],num[maxn+5],low[maxn+5];
int t,n,a[maxn+5],ans,pr[maxn+5];
bool v[maxn+5];

inline int read(){
	int x=0; char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar());
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x;
}

inline void init(){
	low[1]=1;
	
	for(int i=2;i<=maxn;i++){
		if(!v[i]) zs[++t]=i,low[i]=pr[i]=i,num[i]=1;
		
		for(int j=1,u;j<=t&&(u=zs[j]*i)<=maxn;j++){
			v[u]=1,num[u]=num[i]+1,pr[u]=zs[j];
			
			if(!(i%zs[j])){
			    low[u]=low[i]*zs[j];
				break;
			}
			
			low[u]=zs[j];
		}
	}
}

inline void solve(){
	int tot=0,can=0,Xor=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++) if(num[i]&1) Xor^=a[i];
	
	
	for(int i=2,now,to;i<=n;i++){
		now=i;
		
		for(;now!=1;now/=low[now]){
			to=i/pr[now];
			ADD(tot,add(a[i],0));
			
			if(num[i]&1){
				if((Xor^a[i])<=a[i]) ADD(can,1);
			} 
			else{
				if((Xor^a[to])<=a[i]+a[to]&&(Xor^a[to])>=a[to]) ADD(can,1);
			}
		}
	}
	
	ans=can*(ll)ksm(tot,ha-2)%ha;
}

int main(){
	init();
	
	while(scanf("%d",&n)==1){
    	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    	
    	solve();
    	
    	printf("%d\n",ans);
    }
    
	return 0;
}