2020杭电多校第八场 1002 HDU 6856 Breaking Down News 线段树+单调队列+dp

题意：给出一个由{-1,0,1}中元素组成的长度为n的序列，将其分为若干段，且任意段长度len(i)满足 L<=len(i)<=R,每段数字和记作w，则每段价值为w/abs(w)或0，求最大总价值

n,L,R<1e6

题解：考虑dp，记\(f[i]\)表示前i个数字分成若干区间得到的最大答案。因为以i为结尾的最后一个区间左端点肯定在\([i-R+1,i-L+1]\)之间，所以\(f[i]\)只能从\(f[i-R]到f[i-L]\)转移过来。

转移方程为：\(f[i]=max\{f[j]+(s[j]>s[i])-(s[i]<s[j]),j∈[i-L,i-R]\}\)

上式中，难以解决的是后面的大小判断的值，但是如果我们对前缀和进行排序，建立s的权值线段树，每次求f[i]时，可以分三种情况讨论，一种是从满足\(s[j]<s[i]\)的所有\(j\)中的最大\(f[j]\)转移过来，这种情况下转移式中判断的值就为1了，所以只要找到了这样的\(j'\)，就有\(f[i]=f[j']+1\)。同理，其他两种是\(f[j']=max(f[j]),s[j]==s[i],f[i]=f[j']\)，\(f[j']=max(f[j]),s[j]>s[i],f[i]=f[j']-1\)

如何维护最大的\(f[j]\)，又要满足\(i-L<=j<=i-R\)，这时候就要用到单调队列了！给线段树的每个叶子节点都建一个单调队列，维护相同值的一个从队首到队尾单调不增的队列，每次枚举到i，要把对应的\(f[i-L]\)加入单调队列，同时在更新完\(f[i]\)后删除\(f[i-R]\)。

最后还有一个问题，怎么建树呢，由于序列中只有{-1,0,1}三种值，可以知道，极端情况下最小的前缀和是\(-n\)，最大前缀和为\(n\)，根据这一点，可以先找出最小前缀和\(mn\)，其他所有的前缀和肯定都不超过\(mn+n\)，所以可以建一棵值为相对\(mn\)大小的权值线段树，s[i]对应的相对位置为\(s[i]-mn\)，这其实也就是它对应的叶子节点的权值。

这样一来，判断有无解，只需要看\(f[n]\)和\(-n\)的大小关系了。