数据结构基础第5讲

数据结构基础第5讲树和二叉树

本章内容：

层次，分支，一对多。

互不相交的含义：

n个互不相交的树的集合叫做森林

性质1：树中所有节点数等于所有结点度数之和+1
性质2：度为m的树中第i层上至多有\(m_{i-1}\)个结点（\(i \geqslant1\)）
性质3：高度为h的m次树之多有\(\frac{m^h-1}{m-1}\)个结点。
性质4：具有n个结点的m次数的最小高度为\(\lceil \log_m(n(m-1)+1)\rceil\)
- 1.给定h
  
  \[\left \{ \begin{matrix} 每层结点最多 \Rightarrow 总的结点就最多\\ 每层结点最少 \Rightarrow 总的结点最少 \end{matrix} \right . \]
- 2.给定n
  
  \[\left \{ \begin{matrix} 每层结点越多 \Rightarrow h越小\\ 每层结点越少 \Rightarrow 高度越少 \end{matrix} \right . \]
性质5：对于m度树，定义叶子结点个数为\(n_0\)，度为1的结点个数为\(n_1 \cdots\),度为m的结点个数为\(n_m\)，于是有\(n_0=n_2+2*n_3+3*n_4+\cdots+(m-1)*n_m+1\)

双亲表示法：

孩子链表示法：

孩子兄弟链：

性质1：在非空二叉树中，第i层上至多有\(2^{i-1}个结点(i \geqq 1)\)
性质2：深度为k的二叉树至多有\(2^k-1个结点(k \geqq 1)\)
性质3：对任意一棵二叉树，若其叶子结点数为\(n_0\)，度为2的结点数为\(n_2\)，则\(n_0=n_2+1\)
性质4：结点个数等于所有结点的度之和加1
性质5：具有n个结点的二叉树的最小高度为\(\lceil \log_2(n+1)\rceil\)

回顾性质2：深度为k的二叉树至多有\(2^k-1\)个结点\(k \geqq 1\).
\(n \leqq 2_k-1;得出k=\lceil \log_2(n+1)\rceil\)

特点
- 叶子结点只能出现在最下两层且最下层的叶子结点都要集中在二叉树左面
- 完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该节点只有左孩子
- 深度为k的完全二叉树在\(k-1\)层上一定是满二叉树
完全二叉树性质
1. 性质1：在非空二叉树中，第i层上至多有\(2^{i-1}\)个结点\((i \geqq1)\)。
2. 性质2：
3. 性质3：
  
  \(n_1\)的存在并不改变叶子总数，但改变结点总数
4. 性质4：
5. 性质5：
6. 性质6：
7. 性质7：
8. 性质8：
9. 性质9：
10. 性质10：