组合数学学习笔记（六）：生成函数 2（EGF）

指数生成函数（\(\text{EGF}\)）

考虑泰勒展开的式子 \(f(x) = \displaystyle\sum_{i \geq 0}\frac{f^{(i)} (x_0)}{i!} (x - x_0)^i\)，可以发现泰勒展开在普通生成函数的基础上，每一项都除以了 \(i!\)。因此，当普通生成函数比较难以化成封闭形式时，可以考虑将每一项除以 \(i!\)，再进行化简。于是，\(\displaystyle\sum_{i \geq 0} \frac{a_i}{i!} x^i\) 就被称为数列 \(\{a_0, a_1, a_2, \dots\}\) 的指数生成函数。

一些特殊数列的指数生成函数：

• \(\{1, 1, 1, \dots\} = \displaystyle\sum_{i \geq 0} \frac{x^i}{i!} = e^x\)，根据 \(e^x\) 的泰勒展开式即可得出，这也是 \(e\) 名字的由来；

• \(\{1, a, a^2, \dots\} = \displaystyle\sum_{i \geq 0} \frac{a^i}{i!} x^i = e^{ax}\)，也是根据 \(e^{ax}\) 的泰勒展开式得出的；

• \(\{P(n, 0), P(n, 1), P(n, 2), \dots\}\)，其中 \(P(n, k)\) 表示从 \(n\) 个元素的集合中选出 \(k\) 个数组成的排列的数量，可以知道 \(P(n, k) = n^{\underline k}\)，于是它的指数生成函数是 \(\displaystyle\sum_{i \geq 0}\frac{n^{\underline i}}{i!} x^i = (1 + x)^n\)；

考虑将下降幂写成阶乘形式，于是原式 \(= \displaystyle\sum_{i \geq 0} \frac{n!}{i!(n - i)!} x^i\)，可以发现 \(\displaystyle\frac{n!}{i!(n - i)!}\) 就是 \(\displaystyle\binom ni\)，那么原式就会变成 \(\displaystyle\sum_{i \geq 0} \binom ni x^i\)，根据普通生成函数的计算，原始最终等于 \((1 + x)^n\)。

其实，我们已经发现指数生成函数与集合的排列数有关系，不过我们先来了解一下指数生成函数的计算。

运算

应用

多项式指数函数（\(\exp\)）拓展

例题八