题解：P9428 [蓝桥杯 2023 国 B] 逃跑

节选自：DP做题记录（三）（2025.4.5 - 2025.4.19）

这道题代码难度只有红，但思维难度直接把这道题提升到了绿。

我们设 \(dp_i\) 表示从第 \(i\) 个星球出发到根节点花费的最短时间的期望。

显然，如果一个星球 \(v\) 的父亲节点 \(u\) 是跳板星球，那么直接跳跃与往上走父亲是一样的效果，因此 \(dp_v = dp_u + 1\)。

那么如果 \(v\) 的父亲节点 \(u\) 不是跳板星球，那么此时直接跳跃肯定要更优秀一些。假设我们有至少一次跳成功了，那么这种情况的时间一定在 \(u\) 已经考虑过了（如果 \(v\) 跳成功，就钦定 \(u\) 这次一定跳成功；如果 \(v\) 失败了，就钦定 \(u\) 这次也失败了，这样一定能保证 \(u\) 和 \(v\) 到达根的时间一样）。唯一一种 \(u\) 无法复制的情况就是 \(v\) 每次跳跃都失败了，此时它就会多走一条 \(v\) 到 \(u\) 的边，概率是 \(p^{cnt}\)（\(cnt\) 是 \(v\) 到根路径上跳板星球的数量），因此对答案的贡献就会家上 \(p^{cnt}\)，因此 \(dp_v = dp_u + p^{cnt}\)，那么这道题就做完了。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 9;
struct Edge{
	int v, nex;
} e[N << 1], e2[N];
int head[N], ecnt;
void addEdge(int u, int v){
	e[++ecnt] = Edge{v, head[u]};
	head[u] = ecnt;
}
int flag[N], n, m;
double dp[N], p, ans;
void dfs(int u, int fa, double pp){
	if(flag[fa])
		pp *= p;
	if(u != 1){
		if(flag[fa])
			dp[u] = dp[fa] + 1;
		else
			dp[u] = dp[fa] + pp;
	}
	ans += dp[u];
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nex){
		int v = e[i].v;
		if(v == fa)
			continue;
		dfs(v, u, pp);
	}
	pp /= p;
}
int main(){
	scanf("%d%d%lf", &n, &m, &p);
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		addEdge(u, v);
		addEdge(v, u);
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int u;
		scanf("%d", &u);
		flag[u] = true;
	}
	dfs(1, 0, 1);
	printf("%.2lf", ans / n);
	return 0;
}