P3195 [HNOI2008] 玩具装箱

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 P3195 [HNOI2008] 玩具装箱 斜率DP
P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。
P 教授有编号为 1⋯n1⋯n 的 nn 件玩具，第 ii 件玩具经过压缩后的一维长度为 CiCi​。
为了方便整理，P教授要求：
    在一个一维容器中的玩具编号是连续的。
    同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第 ii 件玩具到第 jj 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j−i+∑k=ijCkx=j−i+k=i∑j​Ck​。
制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 xx，其制作费用为 (x−L)2(x−L)2。其中 LL 是一个常量。P 教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 LL。但他希望所有容器的总费用最小

dp[i]:前i个分成若干组最小值
dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-L)^2) (j<i) O(N^2)
a[i]=sum[i]+i,b[i]=sum[i]+i+L+1
dp[i]=dp[j]+a[i]^2-2*a[i]*b[j]+b[j]^2
->2*a[i]*b[j]+dp[i]-a[i]^2=dp[j]+b[j]^2
   K*X+B=Y

*/
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*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
#define ddd printf("-----------------------\n");
using namespace std;
const int maxn=5e4 +10;
const int mod=998244353;
const int inf=0x3f3f3f3f;

ll N, L, dp[maxn], sum[maxn], f[maxn], g[maxn],q[maxn];

double xie(int j1, int j2)
{
    return (double) (dp[j2] + g[j2] - dp[j1] - g[j1]) / (f[j2] - f[j1]);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    scanf("%d%d", &N, &L);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {
        scanf("%d", &sum[i]);
        sum[i] += sum[i - 1];
        f[i] = sum[i] + i;
        g[i] = (f[i] + L + 1) * (f[i] + L + 1);
    }
    g[0] = (L + 1) * (L + 1); //!!!!!!
    int head=1,tail=0;q[++tail]=0;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {
        while(head < tail && xie(q[head], q[head + 1]) <= 2 * f[i]) head++;
        dp[i] = dp[q[head]] + (f[i] - f[q[head]] - L - 1) * (f[i] - f[q[head]] - L - 1); //更新dp值
        while(head < tail && xie(q[tail], i) < xie(q[tail - 1], q[tail])) tail--;
        q[++tail] = i;
        
    }
    printf("%lld\n", dp[N]);
    
    return 0;
}