【bzoj1706/usaco2007 Nov】relays 奶牛接力跑——矩阵快速幂/倍增floyd
Description
FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。
Input
* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E
* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i， 描述了第i条跑道。
Output
* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度
Sample Input
2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9
Sample Output
10
显然要求的就是起点走n步之后到终点的最短路，初始矩阵表示类似邻接矩阵（唯一不同就是矩阵里对角线应该是inf而不是0-->无自环）
这样答案就是矩阵的n次幂。
把矩阵的乘法定义为f[i][j]=min(f[i][k]+f[k][j])（这不就是floyd?）-->满足结合律
最后答案就是n次方矩阵里f[s][t]-->当然是离散后的值
ps.因为我们最后只要起点s那一行的答案，因此在快速幂的时候矩阵乘法可以有一个小小的优化：
最终矩阵每次更新都只更新s那一行，而原矩阵倍增时仍需要n3的转移时间。
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define mem(a,p) memset(a,p,sizeof(a)) 5 const int N=205,inf=0x3f3f3f3f; 6 struct node{int h[N][N];}mp,res; 7 int n,t,s,e,id[N],cnt=0; 8 int min(int a,int b){return a>b?b:a;} 9 int read(){ 10 int ans=0,f=1;char c=getchar(); 11 while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} 12 while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-48;c=getchar();} 13 return ans*f; 14 } 15 node mul(node a,node b){ 16 node tem; 17 for(int i=1;i<=cnt;i++) 18 for(int j=1;j<=cnt;j++)tem.h[i][j]=inf; 19 for(int k=1;k<=cnt;k++) 20 for(int i=1;i<=cnt;i++) 21 for(int j=1;j<=cnt;j++) 22 tem.h[i][j]=min(tem.h[i][j],a.h[i][k]+b.h[k][j]); 23 return tem; 24 } 25 node mul1(node a,node b){ 26 node tem; 27 for(int i=1;i<=cnt;i++) 28 for(int j=1;j<=cnt;j++)tem.h[i][j]=inf; 29 for(int k=1;k<=cnt;k++) 30 for(int j=1;j<=cnt;j++) 31 tem.h[id[s]][j]=min(tem.h[id[s]][j],a.h[id[s]][k]+b.h[k][j]); 32 return tem; 33 } 34 int ksm(){ 35 while(n){ 36 if(n&1)res=mul1(res,mp);//不想卡常的话可以直接写成mul 37 mp=mul(mp,mp); 38 n>>=1; 39 } 40 return res.h[id[s]][id[e]]; 41 } 42 int main(){ 43 n=read();t=read();s=read();e=read(); 44 for(int i=1,a,b,c;i<=t;i++){ 45 c=read();a=read();b=read(); 46 if(!id[a])id[a]=++cnt; 47 if(!id[b])id[b]=++cnt; 48 int x=id[a],y=id[b]; 49 mp.h[x][y]=mp.h[y][x]=c; 50 } 51 for(int i=1;i<=cnt;i++) 52 for(int j=1;j<=cnt;j++){ 53 if(!mp.h[i][j])mp.h[i][j]=inf; 54 res.h[i][j]=i==j?0:inf; 55 } 56 printf("%d\n",ksm()); 57 return 0; 58 }
