一、函数与极限

1.1 函数

• 构成函数的两个基本要素：定义域和对应法则

• 取整函数 \(y=[x]\) 是分段函数，\([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数

• 函数的表示方法主要有：表格法、图形法、解析法（公式法）

• 函数的有界性是基于定义域讨论的，函数的单调性是基于某个区间讨论的

• 复合函数应关注内层函数的值域是否包含外层函数的定义域

• 反函数要求唯一的 x 对应唯一的 y（一一对应）

  • 单调函数一定有反函数，但有反函数的函数不一定是单调的
  • 有反函数的充要条件 \(\forall{x_1 \neq x_2 \in D} \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)
  • 相对于反函数，原来的函数称为“直接函数”

• \(y=f(x)\) 的反函数可以写为 \(x=f^{-1}(y)\) 或 \(y = f^{-1}(x)\) （后者是将反函数法则作用于原来的x上

  • 在同一直角坐标系中，\(y=f(x)\) 和 \(x=f^{-1}(y)\) 图像重合（直接由y逆向解x所以图像重合）

  • 在同一直角坐标系中，\(y=f(x)\) 和 \(y = f^{-1}(x)\) 图像关于直线 \(y = x\) 对称（反函数的法则应用于x）

    （可以 \(y=f(x)=e^x\) 为例理解）

  • \(y=f(x)\) 和 \(y=f^{-1}(x)\) 的定义域和值域互换

• 函数和反函数的复合是恒等映射：\(f^{-1}[f(x)]=x\)，反之同样：\(f[f^{-1}(x)]=x\)

  • \(f(x)=e^x,\; f^{-1}[f(x)]=f^{-1}[e^x]=\ln(e^x)=x\)
  • \(f(x)=e^x,\; f[f^{-1}(x)]=f[\ln(x)]=e^{\ln(x)}=x\)

• 基本初等函数：

  • 幂函数 \(y=x^\mu,\mu \in \mathbb{R}\)，如 \(y=x,\;y=x^2,\;y=x^3,\;y=\sqrt{x},\;y=\sqrt[3]{x},\;y=\frac{1}{x}\)
  • 指数函数 \(y=a^x\;(a>0,a\neq1)\)
  • 对数函数 \(y=\log_ax\;(a>0,a\neq1)\)
  • 三角函数（正弦余弦、正切余切、正割余割）
  • 反三角函数（反正弦反余弦、反正切反余切）

• 幂指函数的讨论常利用恒等式： \(u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}\)

• 常见的奇函数和偶函数

  • 奇：\(\sin(x),\tan(x),\arcsin(x),\arctan(x),\ln\dfrac{1-x}{1+x},\ln(\pm x+\sqrt{1+x^2}),\dfrac{e^x-1}{e^x+1},f(x)-f(-x)\)
  • 偶：\(x^2,|x|,\cos(x),f(x)+f(-x)\)
  • 一个函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和 \(f(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\)

• 奇函数 \(f(x)\) 若在 \(x=0\) 处有定义，则 \(f(0)=0\)

• \(g(x+y)=g(x)+g(y)\)，则 \(g(x)\) 为奇函数

• 奇偶函数运算判定奇偶性

  • 奇 + 奇 = 奇
  • 偶 + 偶 = 偶
  • 奇 * 奇 = 偶（奇 ÷ 奇 = 偶）
  • 偶 * 偶 = 偶（偶 ÷ 偶 = 偶）
  • 奇 * 偶 = 奇（奇 ÷ 偶 = 奇、偶 ÷ 奇 = 奇）

• 复合函数的奇偶性：（假设复合有意义）

  设 \(f(x)\) 是偶函数，\(g(x)\) 是奇函数，则：

  • \(f[f(x)],\;f[g(x)],\;g[f(x)]\) 都是偶函数
  • \(g[g(x)]\) 是奇函数

• 复合函数的周期

  如 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期，则 \(f(ax+b)\) 以 \(\dfrac{T}{|a|}\) 为周期

• \(f(x),g(x)\) 分别以 \(T_1,T_2\) 为周期，则 \(f(x)\pm g(x)\) 的周期为 \(T_1,T_2\) 的最小公倍数

• 有界函数要求有上界和下界

• 函数的上界或下界不是唯一的

• 无界函数：对任意 \(M>0\)，至少存在一个 \(x_0 \in X\)，使得 \(|f(x_0)|>M\)，则 \(f(x)\) 为 \(X\) 上的无界函数

1.2 数列极限

• 数列极限是基于 \(n \to +\infty\) 而言的，数列的有界与无界也是基于此而言的（因为就数列而言”左侧”总是有界的）

• 数列有界性：

  对于数列 \(\{x_n\}\)，若存在正数 \(M\)，使得对于一切 \(x_n\) 都满足不等式 \(|x_n| \leq M\)，那么称该数列是有界的；若 \(M\) 不存在，则说该数列是无界的。

• 根据数列极限的定义（\(\lim_{n \to \infty}x_n=a\)），有：

  • \(b<a, \exist N,\text{当} n>N,x_n>b\)
  • \(c>a, \exist N,\text{当} n>N,x_n<c\)

• 数列的极限与前有限项无关：\(x_n \to a \Leftrightarrow x_{n+1} \to a \Leftrightarrow x_{n+k} \to a\)

• 定理：\(\lim_{n \to \infty}x_n=a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}x_{2k-1}=\lim_{n \to \infty}x_{2k}=a\) ，整体可推局部，但局部不一定可推整体

  • 推论： 若 \(\lim_{n \to \infty}x_{2k-1}\neq\lim_{n \to \infty}x_{2k}\)，则 \(\lim_{n \to \infty}x\) 不存在
  • 结论： 若 \(\lim_{n\to \infty}x_n=a\)，则 \(\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|\)，但反之不成立

• 数列有极限即数列收敛，数列无极限即数列发散

  • 收敛必定有界，有界未必收敛
  • 发散未必无界，无界必定发散

• 若 \(f(x)>g(x)\)，且 \(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\)，则 \(A \geq B\)

• 常用数列极限结果：

  • \(\lim_{n \to \infty}q^n = 0 \;,(|q|<1)\)
  • \(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1\)

1.3 函数极限

(1) 自变量趋于无穷大时函数的极限

• 定理：\(\lim_{x \to \infty}f(x)=A \Longleftrightarrow \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}f(x)=A\)

(2) 自变量趋于有限值时函数的极限

• \(x \to x_0,\text{但} x \neq x_0\)，关注例 \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin\frac{1}{x}}\) ，该式分母可以为 0，此时函数无定义

• \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 与 \(f(x_0)\) 无关，如 \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)

• 左极限：\(\lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)=f(x_0-0)\)

• 右极限：\(\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)=f(x_0+0)\)

• 极限存在的充分必要条件：\(\lim_{x \to x_0}f(x)=A \Longleftrightarrow \lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x \to x_0^+}f(x)=A\)

• 需要分左、右极限求极限的问题（主要有三种）

  (1) 分段函数在分界点处的极限（在该分界点两侧函数表达式不同）

  (2) \(e^{\infty}\) 型极限（如 \(\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}},\lim_{x \to \infty}e^x,\lim_{x \to \infty}e^{-x}\) 都不存在）

  (3) \(\arctan \infty\) 型极限（如 \(\lim_{x \to 0}\arctan\frac{1}{x},\lim_{x \to \infty}\arctan x\) 都不存在）

• 函数极限和数列极限的关系

  若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)，则对任意数列 \(\{x_n\}\)，\(\lim_{n\to \infty}x_n=x_0\)，且 \(x_n\neq x_0\)，都有 \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\)

• 极限的性质--有界性：

  • 若数列 \(\{x_n\}\) 收敛（有极限），那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界
  • 若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 某去心邻域有界（即局部有界）

• 极限的性质--保号性：

  数列极限 \(\lim_{n\to \infty}x_n=A\)

  (1) （极限保数列项）若 \(A>0\)，则存在 \(N>0\)，当 \(n>N\) 时，\(x_n>0\)（注意是严格不等号 \(>\) 或 \(<\)）

  （极限值大于零，说明 A 存在一个邻域是大于零的，而无论 A 邻域多小，总存在一个 N，当 n 大于 N 时会落在 A 的邻域内，因此与 A 同号）

  (2) 若存在 \(N>0\)，当 \(n>N\) 时，\(x_n\geq0\)，则 \(A\geq 0\)（注意是非严格不等号 \(\geq\) 或 \(\leq\)）

  函数极限 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)

  (1) 若 \(A>0\)，则存在 \(\delta>0\)，当 \(x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\) 时，\(f(x)>0\)（注意是严格不等号 \(>\) 或 \(<\)）

  (2) 若存在 \(\delta >0\)，当 \(x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\) 时，\(f(x)\geq0\)，则 \(A\geq0\)（注意是非严格不等号 \(\geq\) 或 \(\leq\)）

  （两个 (2) 中第一个非严格不等号替换为严格不等号，也是成立的）

1.4 无穷小量与无穷大量

• 极限值与无穷小的关系（\(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充要条件）：

  \(\lim{f(x)}=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)\)，其中 \(\lim{\alpha(x)=0}\)

• 在同一极限过程中，若 \(f(x)\) 是无穷大，则 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 是无穷小；反之若 \(f(x)\) 是无穷小，且 \(f(x)\neq 0\)，则 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 是无穷大

• 函数极限为无穷大时极限是不存在的

• 常用无穷大量的比较：

  • 当 \(x \to +\infty\) 时：\(\ln^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x\)，其中 \(\alpha>0,\beta>0,a>1\)
  • 当 \(n\to \infty\) 时：\(\ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n \ll n! \ll n^n\)，其中 \(\alpha>0,\beta>0,a>1\)

• 无穷大量与无界变量的关系：（以数列为例）

  (1) 数列 \(\{x_n\}\) 是无穷大量：\(\forall M>0, \exist N>0\)，当 \(n>N\) 时，恒有 \(|x_n|>M\)

  (2) 数列 \(\{x_n\}\) 是无界变量：\(\forall M>0, \exist N>0\)，使 \(|x_{N}|>M\)

  无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量

1.5 极限运算法则

• 关于无穷小的运算（性质）：

  • 有限个无穷小的和为无穷小
  • 有限个无穷小的积为无穷小
  • 无穷小量与有界变量的积为无穷小

• 关于无穷大的运算（性质）：

  • 有限个无穷大量的积仍为无穷大量
  • 无穷大量与有界变量的积为无穷大量
  • 无穷大量与非零常数乘积仍为无穷大量

• 极限的四则元素法则：要求拆开计算的极限是存在的

• 极限运算法则 - 商法则的特殊情况：（注：商法则要求函数分母极限存在且不为零）

  • \(x \to x_0\)，处理 \(\dfrac{0}{0}\) 型极限，常用的思想为“消去分母零因子”

  • \(x \to \infty\)，处理 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型极限，常用思想为“消去分母无穷因子”

    • \(\lim_{x \to \infty}{\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}} = \begin{cases}\infty \;,n>m \\ \dfrac{a_n}{b_m}\;,n=m \\ 0\;,n<m\end{cases}\)

• \(\lim f(x)=A \neq 0\)，则 \(\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)\) （无论剩余项，极限的非零因子的极限可先求取）

  • （注意，这个方法主要适用用于作为乘/商因子的项，和差项不一定能用）

• \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 存在，且 \(\lim g(x)=0\)，则 \(\lim f(x)=0\) （我称之为“极限保零性”）

  • 常用于求极限式分子 \(f(x)\) 中的未知变量，通常可以和洛必达结合分步求出各个变量（相关的题目通常还可以用泰勒公式求解，如条件是高阶、同阶无穷小等）
  • 还可能作隐含题目条件等

• \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0\)，且 \(\lim f(x)=0\)，则 \(\lim g(x)=0\)

• 若 \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\)，则 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)，\(\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty\)

• \(\lim_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a\) （\(a^x-1 \sim x\ln a\)）

• 求幂指函数 \(f(x)^{g(x)}\) 的极限常用方法

  法1：利用恒等式 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)

  法2：若为 \(1^\infty\) 型，可利用第二重要极限

  法3：若函数连续，且 \(\lim f(x)=A>0,\lim g(x)=B\)，则 \(\lim f(x)^{g(x)}=A^B\) （利用函数连续性）

1.6 极限存在准则 & 两个重要极限

• 准则1：夹逼准则：

  若函数 \(f(x),g(x),h(x)\) 满足：

  ① \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)

  ② \(\lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=A\)

  则 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)

• \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=\max\{a_i\},\;(a_i>0)\)

• 准则2：单调有界数列必有极限

• 两个重要极限

  第一重要极限：\(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin{x}}{x} =1\) （推广：\(\lim\dfrac{\sin{\alpha}}{\alpha} =1\)，\(\alpha\) 为无穷小量）

  第二重要极限：\(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e\) 注意：式中1+后面的部分与括号外的指数的乘积为 1

  （推广：\(\lim(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}} =e\)，\(\alpha\) 为无穷小量，切 "1" 是严格的数值 1，不能用某个项的极限值代替）

• 第一重要极限是 \(\dfrac{0}{0}\) 型，第二重要极限是 \(1^\infty\) 型

• \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin{ax}}{x} =a\) （\(a\) 为常数）

• \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin{ax}}{\sin{bx}} =\dfrac{a}{b}\)（\(a,b\) 为常数，且 \(b \neq 0\)）

• \(\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^x = \dfrac{1}{e}\)

• \(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}\)

• \(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^{bx+c} = e^{ab}\)

• \(1^\infty\) 型极限常用结论：(from 武钟祥高数基础课P14)

  对于 \(\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}\)，若 \(\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty\)，且 \(\lim\alpha(x)\beta(x)=A\)

  则 \(\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)} = e^A\)

  做题步骤：

  ① 写标准形式：\(\text{原} = \lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}\)

  ② 求极限： \(\lim\alpha(x)\beta(x)=A\)

  ③ 写结果：\(\text{原}=e^A\)

  （注意与等价无穷小类似形式的结论区分）

1.7 无穷小比较

• \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小说明 \(\beta\) 比 \(\alpha\) 趋向零的速度更快

  • 即 \(\lim\dfrac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0\)，且 \(\beta(x)\) 中只能出现比 \(\alpha(x)\) 更高阶的项
  • \(o(x)\) 表示比 \(x\) 高阶的无穷小，则有如 \(x\cdot o(x)=o(x^2)\) 成立

• \(\beta\) 和 \(\alpha\) 是同阶无穷小说明 \(\beta\) 和 \(\alpha\) 趋向零的速度不相上下

  • 即 \(\lim\dfrac{\beta(x)}{\alpha(x)}=c\neq0\)，且 \(\beta(x)\) 和 \(\alpha(x)\) 中最低阶的项阶数一致，而其他高阶的项更快趋向于无穷小，对比值结果（极限结果）无影响

• 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形

• 求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都（分别）可用等价无穷小代替

  • 设 \(f_1(x)\sim f_2(x)\)，则如下等价替换也成立：\(\lim f_1(x)h(x)=\lim f_2(x)h(x)\)

• 注意：如下无穷小等价替换不一定成立

  假设 \(f(x)\sim F(x),\;g(x)\sim G(x),\;h(x)\sim H(x)\)

  极限分式中，分子由各项相加时，分子各相加的项不可直接进行等价无穷小替换

  \(\lim\dfrac{f(x)\pm g(x)}{h(x)}=\lim(\dfrac{f(x)}{h(x)}\pm\dfrac{g(x)}{h(x)})=\lim\dfrac{f(x)}{h(x)}\pm\lim\dfrac{f(x)}{h(x)}\)

  （同理对于“分母由各项相加”、“分子分母均由各项相加”的情况，均不一定能对各“加项”进行等价无穷小替换）

• 极限加减运算中的等价无穷小替换要求：替换后的误差项不会相互抵消或主导极限

  • 误差项指等价无穷小充要条件中的高阶项，即 \(\beta=\alpha + o(\alpha)\) 中的 \(o(\alpha)\)

• \(\beta\) 是 \(\alpha\) 等价无穷小的充分必要条件为 \(\beta=\alpha + o(\alpha)\)，其中 \(o(\alpha)\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小

• 等价无穷小结论：（\(x \to 0\)）（\(x\) 可代换为无穷小量 \(\alpha(x)\)）

  • \(\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \dfrac{1}{n}x\) （\(\sqrt[n]{1-x}-1 \sim -\dfrac{1}{n}x\)），证明见书P54
  • \((1+x)^a-1 \sim ax\) ，证明方法同上，（该结论更通用）
  • 若 \(\alpha(x) \to 0,\alpha(x)\beta(x)\to 0\)，则 \((1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1 \sim \alpha(x)\beta(x)\)
  • \(x \sim \sin{x} \sim \tan{x} \sim \arcsin{x} \sim \arctan{x} \sim \ln(x+1) \sim e^x-1\)
  • \(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x\)
  • \(1-\cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2\)
  • \(x-\sin x \sim \dfrac{1}{6}x^3\)
  • \(x-\arcsin x \sim -\dfrac{1}{6}x^3\)
  • \(x-\tan x \sim -\dfrac{1}{3}x^3\)
  • \(x-\arctan x \sim \dfrac{1}{3}x^3\)
  • \(a^x-1 \sim x\ln{a}\)
    • 由 \(e^x-1 \sim x\) 可证
  • \(x-\ln(1+x) \sim \dfrac{1}{2}x^2\) ，洛必达可证

1.8 函数的连续性与间断点

• 连续的几何含义可以理解为“一笔画”（但不一定光滑）

• 连续性求极限：

  若 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 连续，则 \(\lim_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)\)

  若 \(f(x),\varphi(x)\) 为连续函数，则 \(\lim_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\lim_{x\to x_0}\varphi(x)]\)

  若 \(\lim f(x)=A>0,\lim g(x)=B\)，则 \(\lim f(x)^{g(x)}=[\lim f(x)]^{\lim g(x)}=A^B\)

• \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续的条件：

  (1) \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有定义

  (2) \(\lim_{x \to x_0}{f(x)}\) 存在

  (3) \(\lim_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)\)

• 点 \(x_0\) 为函数 \(f(x)\) 间断点（不连续点）的条件：

  (1) 在 \(x=x_0\) 处无定义

  (2) 在 \(x=x_0\) 处有定义，但 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 不存在

  (3) 在 \(x=x_0\) 处有定义，且 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 存在，但 \(\lim_{x \to x_0}{f(x)} \neq f(x_0)\)

• 间断点分类：

  • 第一类间断点：左右极限都存在

    ① 可去间断点：左右极限存在且相等

    ② 跳跃间断点：左右极限存在但不相等

  • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

    ① 振荡间断点

    ② 无穷间断点

    ③ 其他

• 初等函数连续性：

  • 基本初等函数在其定义域内是连续的
  • 初等函数在其定义区间内是连续的

• 连续函数的运算

  • 四则运算： 在某区间（或某点）连续的函数经过“加、减、乘、除”后仍然为连续函数（或仍在该点连续），其中“相除”时要求分母函数非零
  • 复合函数： 懒得写了

1.9 闭区间上连续函数的性质

• 最值定理：\(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有最大值与最小值
• 有界性定理：\(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有界
• 介值定理：\(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\neq f(b)\)，则对于任意介于 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的数 \(C\)，至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f(\xi)=C\)
  • 推论：\(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 的值域是闭区间 \([m,M]\)，其中 \(m\) 和 \(M\) 分别是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最小值和最大值
  • （介值定理+最值定理）推论：\(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，\(m\) 和 \(M\) 分别是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最小值和最大值，则对于任意介于 \(m\) 与 \(M\) 之间的数 \(C\)，至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f(\xi)=C\)
• 零点定理：\(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\cdot f(b)<0\)，则至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f(\xi)=0\)
  • 零点定理常用于“证明方程根的存在性”，即“零点问题”
  • 一些等式的证明也可以通过构造辅助函数来将问题转换为上述两个问题
  • 常用的辅助函数构造方法有：原函数法、微分方程法