[837. 新21点]
[837. 新21点]
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
示例 1**：**
输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2**：**
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3**：**
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：
0 <= K <= N <= 100001 <= W <= 10000- 如果答案与正确答案的误差不超过
10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。 - 此问题的判断限制时间已经减少。
思路：逆序DP+前缀和优化
设dp[x] 表示当前分数为x 时的胜率， 由于抽到每张牌的概率相同，当我们抽一张牌后，状态变为x+i的概率为
1
W
\frac{1}{W}
W1
可以得到状态转移方程
d
p
[
x
]
=
1
W
∗
∑
i
=
x
+
1
x
+
W
d
p
[
i
]
dp[x] = \frac{1}{W}*\sum_{i = x+1}^{x+W}{dp[i]}
dp[x]=W1∗i=x+1∑x+Wdp[i]
所以初始化dp[K]~dp[N] = 1 , dp[N]~dp[K+W] = 0
注意有时K+W可能小于N
public double new21Game(int N, int K, int W) {
if(K == 0) {
return 1.0;
}
double[] res = new double[N+W+1];
double sum = (double)(N-K+1);
for (int i = K; i <= N; i++) {
res[i] = 1.0;
}
for(int i = K-1; i >= 0; i--){
res[i] = sum/(double)W;
sum -= res[i+W];
sum += res[i];
}
return res[0];
}
