SGU[102] Coprimes

Description

描述

For given integer N (1<=N<=10^4) find amount of positive numbers not greater than N that coprime with N. Let us call two positive integers (say, A and B, for example) coprime if (and only if) their greatest common divisor is 1. (i.e. A and B are coprime iff gcd(A,B) = 1).

对于给定的整数N(1<=N<=10^4)求不大于N并且与N互素的正整数的个数。我们称两个正整数（例如A、B）互素，但且仅当它们的最大公约数为1。（即gcd(A,B)=1）

 

Input

输入

Input file contains integer N.

输入文件包含整数N。

Output

输出

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Sample Input

样例输入

9

Sample Output

样例输出

6

 

Analysis

分析

我首先想到的是欧拉函数\(\varphi\left(N\right)\)，后来发现数据量并不是特别的大，所以又用暴力做了一遍，也AC了。

 

这道题目的重点在于欧拉函数\(\varphi\left(N\right)\)的求法，现总结如下：

欧拉函数\(\varphi\left(N\right)\)：小于等于N且与N互素的正整数的个数。

欧拉函数据有如下性质：

• \(\varphi \left ( 1 \right )=1\)

• \(\varphi \left ( N \right )=N\cdot\prod_{p|N}{\left (\frac{p-1}{p}  \right )}\)，其中\(p\)为素数

• \(\varphi \left ( p^{k} \right ) = p^{k}-p^{k-1}=\left(p-1 \right )\cdot p^{k-1}\)，其中\(p\)为素数

• \(\varphi \left ( mn \right )=\varphi \left ( m \right )\cdot \varphi \left ( n \right )\)，其中\(\gcd{\left ( m,n \right )}=1\)

根据第2个式子我们就可以求出欧拉函数。

基本思路：首先置\(\varphi\left(N\right)=N\)，然后枚举\(N\)的素因子\(p\)，将\(p\)的整数倍的欧拉函数\(\varphi \left ( k\cdot p \right )\)置\(\varphi \left ( k\cdot p \right )=\varphi \left ( k\cdot p \right )\cdot\left (\frac{p-1}{p}  \right )\)即可。

基本代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAX = 1024;

int N;
int p[MAX], phi[MAX];

int main()
{
    cin >> N;
    for(int i = 1; i <= N; i++)	// 初始化
    { p[i] = 1; phi[i] = i; }
    p[1] = 0;	// 1不是素数
    for(int i = 2; i <= N; i++)	// 筛素数
    {
        if(p[i])
        {
            for(int j = i * i; j <= N; j += i)
            { p[j] = 0; }
        }
    }
    for(int i = 2; i <= N; i++)	// 求欧拉函数
    {
        if(p[i])
        {
            for(int j = i; j <= N; j += i)	// 处理素因子p[i]
            {
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);	// 先除后乘，防止中间过程超出范围
            }
        }
    }
    cout << "Primes: " << endl;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    { if(p[i]) { cout << i << " "; } }
    cout << endl;
    cout << "Euler Phi Function: " << endl;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    { cout << phi[i] << " "; }
    return 0;
}

 

Solution

解决方案

欧拉函数：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int phi(int x);

int main()
{
	int N;
	cin >> N;
	cout << phi(N) << endl;
	cout << endl;
	return 0;
}

int phi(int x)
{
	int nRet = x;
	int nTmp = (int)sqrt(x);
	for(int i = 2; i <= nTmp; i++)
	{
		if(x % i == 0)
		{
			nRet = nRet / i * (i - 1);
			while(x % i == 0)
			{ x /= i; }
		}
	}
	if(x > 1)
	{
		nRet = nRet / x * (x - 1);
	}
	return nRet;
}

暴力：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdio.h> 

using namespace std;

int gcd(int x, int y);

int main()
{
	int N, nRet = 0;
	cin >> N;
	for(int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(gcd(N, i) == 1)
		{ nRet++; }
	}
	cout << nRet << endl;
	return 0;
}

int gcd(int x, int y)
{
	if(y == 0) { return x; }
	return gcd(y, x % y);
}

 

SGU不愧是经典题目的合集，每做一道题都会学到一些新的东西。