CF1715F题解

CF1715F

这里更容易进入且有翻译

题意

给定一个 \(n \times m\) 的矩形区域，区域内有一个边长为 \(1\) 的正方形。交互最多五次进行询问，每次询问可以给出一个不自交的多边形（不要求为凸多边形），评测姬返回该多边形与正方形的交的面积。要求猜测正方形的靠原点方向的顶点坐标 \((x, y)\)。

解析

这题在CF上有计算几何标签，但没涉及什么计算几何相关，更像是一道思维题。

官方题解为使用横纵两个方向的锯齿形多边形进行两次询问。这里使用另一种思路，仅从横向（或纵向）单个方向构造多边形，使用 2 到 3 次询问。

这里使用下面样例进行解释：

6 5
2.2 3

由于要查找的正方形边长固定为 \(1\)，我们以上面样例构造如下图的矩形波：

作为第一次询问，我们得到 \(res_1\)，得到的结果用于后面对齐询问的横坐标，此时的询问能计算出 \(x\) 为 \(C + res_1\) 或 \(C - res_1\)，其中 \(C\) 为整数。

第二次询问将第一次询问的多边形向右移动 \(1 - res_1\)，确认 \(x\) 为 \(C + res_1\) 还是 \(C - res_1\)。如下图：

如果询问得到的 \(res_2\) 为 \(1\) 则 \(x\) 为 \(C - res_1\)。

第三次询问。先设偏移距离 \(l\)，若 \(x = C - res_1\) 则 \(l = 1 - res_1\)；否则 \(l = res_1\)。

构造如图多边形，如图中所示，\(A_1A_2\) 及其它与 \(A_1A_2\) 位于同一直线上的线段的长度成等差数列，设 \(step\)，这些线段的长度从左到右依次为 \(step, step \times 2, step \times 3, \dots, step \times (n - 1)\)；\(A_1A_3\) 及其它斜线斜率 \(k\) 均为 \(- \frac{m}{step}\)。

第三次询问得到的面积 \(res_3\)，则有答案：

\[x = l + \left \lfloor \frac{res_3}{step} \right \rfloor \]

\[y = k \times (res_3 - \left \lfloor \frac{res_3}{step} \right \rfloor \times step) + m - 0.5 \]

（利用直线方程 \(y_0 = k \times x_0 + m\) 计算得到的结果为正方形中心的纵坐标，因而需要减去 \(0.5\)）。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define LL long long
#define pii pair<int, int>
#define pll pair<LL, LL>
#define double long double
#define pdd pair<double, double>
#define eps 1e-15

using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);

    int n, m;
    double res1, res2, l, res3;
    cin >> n >> m;
    
    //第一次询问
    printf("? %d\n", max(n + 1 >> 1 << 2, 8)); //这里取至少8是因为循环前后直接进行了两次坐标输出
    printf("0 -1\n0 %d\n1 %d\n1 0\n", m, m);
    int idx = 3;
    for (; idx <= n - 2; idx += 2)
        printf("%d 0\n%d %d\n%d %d\n%d 0\n", idx - 1, idx - 1, m, idx, m, idx);
    printf("%d 0\n%d %d\n%d %d\n%d -1\n", idx - 1, idx - 1, m, idx, m, idx);
    fflush(stdout);
    cin >> res1;

    if (fabs(res1 - (double)1.0) <= eps || fabs(res1 - (double)0.0) <= eps) //对横坐标在允许误差内是否为整数进行判断
        l = 0.0;
    else
    {
        //第二次询问
        printf("? %d\n",max(n + 1 >> 1 << 2, 8));
        printf("%.15LF -1\n%.15LF %d\n%.15LF %d\n%.15LF 0\n", (double)1.0 - res1, (double)1.0 - res1, m, (double)2.0 - res1, m, (double)2.0 - res1);
        int idx = 3;
        for (; idx <= n - 2; idx += 2)
            printf("%.15LF 0\n%.15LF %d\n%.15LF %d\n%.15LF 0\n", (double)idx - res1, (double)idx - res1, m, (double)(idx + 1) - res1, m, (double)(idx + 1) - res1);
        printf("%.15LF 0\n%.15LF %d\n%.15LF %d\n%.15LF -1\n", (double)idx - res1, (double)idx - res1, m, (double)(idx + 1) - res1, m, (double)(idx + 1) - res1);
        fflush(stdout);
        cin >> res2;

        if (fabs(res2 - (double)1.0) <= eps)
            l = (double)1.0 - res1;
        else
            l = res1;
    }

    //第三次询问
    printf("? %d\n", (n << 2) + 1);
    double step = 0.00390625; //步长设为2的幂次防止丢精度
    printf("%.15LF -1\n%.15LF -1\n%.15LF %d\n%.15LF 0\n%.15LF 0\n", l + (double)n, l, l, m, l + step, l + (double)1.0);
    for (int i = 1; i < n; i++)
        printf("%.15LF %d\n%.15LF %d\n%.15LF 0\n%.15LF 0\n", l + (double)i, m, l + (double)i + (double)i * step, m, l + (double)i + (double)(i + 1) * step, l + (double)(i + 1));
    fflush(stdout);
    cin >> res3;

    int xi = res3 / step;
    double x = (double)xi + l, y = (double)m - (res3 - (double)xi * step) * ((double)m / step) - (double)0.5;

    printf("! %.15LF %.15LF\n", x, y);
    fflush(stdout);
}

最后祝各位顺利AC。>w<