数学好题，错题，例题 记录

题目一. 已知正整数 \(a,b\)，满足 \(a+b = 2\)。则 \((3+\frac{2}{a})(8+\frac{2}{b})\)

考虑 \(a+b = 2\) 将 \(\frac{2}{a},\frac{2}{b} \to \frac{a+b}{a},\frac{a+b}{b}\)

然后拆开即可。就变成了 \((4+\frac{b}{a})(9+\frac{a}{b})\)

此类题目考虑换元。

题目二. 已知正整数 \(a,b\) 满足 \(a+2b=ab\)

\(1.\) 求 \(a+b _{\min}\)

方法一:

注意到 \(a+2b=ab \to \frac{1}{b}+\frac{2}{a} = 1\)

\(a+b \to (a+b)(\frac{1}{b}+\frac{2}{a})\) 大小不变。

\(\frac{2b}{a}+2+1+\frac{a}{b}\) 然后就是一道简单均值不等式的题目了 \(3+2\sqrt{2}\)

方法二：

此方法为通法。可在考场上没有办法时使用。

我们知道 \(a+2b = ab \to a=ab-2b \to a=b(a-2) \to b = \frac{a}{a-2}\)

\(a+b\) 就转变为 \(a+\frac{a}{a-2}\)

一种复杂的方法是

\(a+\frac{a}{a-2} \to \frac{a^2-a}{a-2}\) 令 \(a-2\) 为 \(t\) 。\(a=t+2\) 变换为 \(\frac{(t+2)^2-(t+2)}{t}\) 搞出来后变为简单均值不等式

换元法

第二种巧妙的方法是考虑借数

\((a-2)+\frac{(a-2)+2}{a-2} +2\) 然后就好做了 思路似乎是由于 \(a\) 和分子 \(a\) 相同下手的。反正我考试的时候想不到:(

\(2.\) 求 \(\frac{2a}{a-2}+\frac{8b}{b-1} _{\min}\)

答案书上的方法有点玄学。有 \(a+2b=ab\)，然后通过我们敏锐的观察可以发现有 \((a-2)(b-1)=2 \to ab-a-2b =0\)

不过显然大部分时候没有这样明显的数感。这时候就存在小技巧了。 \(\frac{2a}{a-2}+\frac{8b}{b-1} \geq 2\sqrt{\frac{16ab}{(a-2)(b-1)}}\) 下面这个东西一定是个定值，不然没有最小值这个东西。然后往这个方向想即可。

题目三. $y=21-x-\frac{18}{2x+1}\ x>\frac{1}{4} $ 的最大值

万恶之源。考试的时候被干翻了。核心原理还是均值不等式，就是 \(x+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x\times\frac{1}{x}}\) 变形来的。

考虑到 \(\frac{18}{2x+1} \to \frac{9}{x+\frac{1}{2}}\) 就有了 \(y=21-(x+\frac{1}{2} + \frac{9}{x+\frac{1}{2}})+\frac{1}{2}\)

然后正常算即可。

老师还讲了一种方法，就是 \(-(x+\frac{18}{2x+1}) \to -(\frac{2x^2+x+18}{2x+1})\) 令 \(2x+1\) 为 \(t\)

换元大法好啊，然后就是套路题目了。换元思想题目二写道了，就不写了，开学第一天，生物还没复习，作业不看书直接GG，靠。