命题逻辑那些事 | 3. 等价式&永真蕴含式 (主要是后者)

一、等价式

啥是等价式？要我说带等价符号的就是等价式。

比如说

\[A \Leftrightarrow B \]

就是个等价式

硬要说的复杂一点，就是等价式两边可以互相推出，完全等价

比如我说

\[A \lor B \Leftrightarrow B \lor A \]

我们之前的那些演算、推导，都是建立在等价关系的基础上的，由于当时概念中太多的XX式，怕给你们弄乱，所以我们现在才引入这个概念，毕竟普通的数学运算大家都很熟悉，可以直接类比理解。

二、永真蕴含式

那么有了等价式，和它并列的就是永真蕴含式了

首先我们知道，啥是蕴含式——

\[A \rightarrow B \]

那么永真蕴含式就是

\[A \Rightarrow B \]

解释一下就是

\[若(A\rightarrow B) \Leftrightarrow 1,\ 则A \Rightarrow B \]

上面这个式子很重要，因为这是我们证明一个永真蕴含式的底层逻辑

个人建议：其实你也可以近似的理解为只要前件是真的，必然包含后件为真

三、永真蕴含式的证明

底层逻辑 暨 推理方法一

首先，等价式的证明是易懂的，和数学代数运算、等价代换差不多嘛。

证明蕴含式虽然没那么简单，但也还是很好理解的——

\[在“\ \textcolor{red}{若(A\rightarrow B) \Leftrightarrow 1,\ 则A \Rightarrow B}\ ”的基础上 \]

我们可以得出

蕴含式只有在前1后0的情况下才能为假，否则都为真

因此我们为了证明一个蕴含式永远是真的，就要去证明它永远不是假的

于是就有了两种证明此式非假的方法：

\[\begin{cases} 假设前1 ， 证后必1\\ 假设后0 ， 证前必0 \end{cases} \]

任何讲解都不如来一个例题有用，所以我们——

例：证明

\[\textcolor{red}{P \land (P \rightarrow Q)} \Rightarrow \textcolor{blue}Q \]

方法1，假设前真

即

\[\textcolor{red}{P \land (P \rightarrow Q)} \Leftrightarrow 1 \]

根据此式可推出

\[\begin{cases} P \Leftrightarrow 1\\ P \rightarrow Q \Leftrightarrow 1 \end{cases} \]

既然蕴含式P→Q为真，则要么前真后真，要么前假

而P为真，代表前真，所以得出Q也为真

满足了前为1，后必为1的条件，得证；

方法2，假设后假

即

\[\textcolor{blue}Q \Leftrightarrow 0 \]

这种方法对于这道题来说比较麻烦，不过还是演示一下

在Q为假时，P未知，那么就有了两种情况，我们可以用真值表来计算

P	P → Q	P ∧ ( P → Q )
1	0	0
0	1	0

因此当Q为假 (后假) 时，前必为假，得证。

看完这道例题，有的同学就懵了，说这道题的证明过程我看懂了，但这题和书上考的也不一样啊？我怎么没见过呢？

这里只是为了让你更清晰的明白证明过程的底层逻辑，真正做题时肯定不会这么这么简单，形式也会有所不同，至于具体的做题方法，后面会讲到。

当然，如果你足够聪明，就会发现上面这种证明方法，本质上依然是等值演算法，这对于一些复杂的证明必定是有些吃力的。

推理方法二——构造证明法

1、推理理论

在底层逻辑的基础上，我们可以得出一些推理理论，甚至你自己也可以很容易的利用已有的知识推出它们

因此在构造证明法中，我们不用再去纠结底层逻辑中的那些东西，他们已然融会贯通进下面要讲到的推理理论中了

推理理论就像是等值演算中的那些重要等值式(详见第一章)一样，是拿来就用的公式，我们话不多说开始介绍

\[\begin{cases} 附加\ \ A \Rightarrow (A \lor B)\\ 化简\ \ (A \land B) \Rightarrow A \end{cases} \]

\[\begin{cases} 假言推理\ \ ((A \rightarrow B) \land A) \Rightarrow B\\ 拒取式\ \ \ \ \ ((A \rightarrow B) \land \lnot B) \Rightarrow \lnot A \end{cases} \]

\[\begin{cases} 析取三段论\ \ ((A \lor B) \land \lnot A) \Rightarrow B\\ 假言三段论\ \ ((A \rightarrow B) \land (B \rightarrow C)) \Rightarrow (A \rightarrow C)\\ 等价三段论\ \ ((A \leftrightarrow B) \land (B \leftrightarrow C)) \Rightarrow (A \leftrightarrow C) \end{cases} \]

析取三段论——排除法

假言三段论、等价三段论——传递

\[构造性二难\ \ (A \rightarrow B) \land (C \rightarrow D) \land (A \lor C) \Rightarrow (B \lor D) \]

2、证明规则