命题逻辑那些事 | 1. 概念前摇

一、必要概念(不懂不行的nouns)

以上是我在与一位朋友谈论起离散数学时的评价。
离散中的概念多且杂，同一个概念还有多种叫法，不禁令人头晕目眩，口吐白沫。
因此在前面将一些必要的概念用简单的语言提前描述好是必要的。
这也是这里要做的事情。

首先，我们来看一句话：

复合命题 由 简单命题 通过 联结词 连接而成。

再简单点说，复合命题是火车，简单命题是车厢，联结词是车钩

这句话中已经包含了我们要弄懂的三个概念——

复合命题

复合命题 = 合式公式 = 命题公式 = 公式 ，是日后折磨我们的重要载体 ，用大写字母表示，A、B、C……

简单命题

简单命题 = 原子命题 = 命题变项(元），用小写字母表示，p、q、r……

ps：我们将 命题常量 看做 已赋值的命题变量 (由于命题常量这个概念几乎没用，我们称他为狗屎)

逻辑联结词

• ¬ 否定联结词 ( ! in C++ )

• ∨ 析取联结词 (至少一个为真时 为真) ( || )

• ∧ 合取联结词 (两边都为真时 为真) ( && )

析取符号长得好像漏斗，所以是"析取"；合取符号长得像房顶，把东西"合并"起来

• → 蕴含联结词 (前真后假时 为假)

p→q , 则p为q的充分条件，q为p的必要条件

• ↔ 等价联结词 (当且仅当都为真时 为真)

p↔q，p、q互为充要条件

成真赋值、成假赋值

当公式中的命题变项被赋不同的值时，公式最终的值也会有所改变。
给不同的命题变项分别赋不同的值，如果公式最终值为真，则这组值为成真赋值，反之为成假赋值
它们会在什么时候被用到呢？

1. 用于判断
   \[\begin{cases} 重言式 = 永真式\\ 矛盾式 = 永假式\\ 可满足式 \end{cases} \]

顾名思义，永真就是永远为真，也就没有成假赋值；永假同理。
2. 用于 书写 主析取范式 & 主合取范式 的 角码

---

二、公式的演算和推导

1、这些演算的方法什么时候用到？

​ 首先，用于公式的化简，性质和我们平时的数学计算化简性质差不多；

​ 其次，可以用来求主析(合)取范式，至于怎么求，很快就会讲到。

2、常用重要等值式

第一种：由简单四则运算可以类比出的：

双重否定律

交换律

结合律

分配律

第二种：命题的自身运算：

\[等幂律\ \begin{cases} A \land A \Leftrightarrow A \\ A \lor A \Leftrightarrow A \end{cases} \]

\[\begin{cases}排中律\ \ A \lor \lnot A \Leftrightarrow 1 \\ 矛盾律\ \ A \land \lnot A \Leftrightarrow 0\end{cases} \]

排中律和矛盾律的记忆法：矛盾律与矛盾式(永假式)必然有点关系，结果恒为假(0)，记住矛盾律了排中律即为另一个

第三种：something new

\[零律\ \ \begin{cases} A \lor 1 \Leftrightarrow 1 \\ A \land 0 \Leftrightarrow 0 \end{cases} \]

\[同一律\ \ \begin{cases} A \lor 0 \Leftrightarrow A \\ A \land 1 \Leftrightarrow A \end{cases} \]

零律和同一律的记忆法：零律把 “A” 给整没了，相当于给A乘了个0；同一律同理，给A乘了个1

\[吸收律\ \ \begin{cases} A \lor (A \land B)\Leftrightarrow A \\ A \land (A \lor B) \Leftrightarrow A \end{cases} \]

\[蕴含等值式\ \ A \rightarrow B\Leftrightarrow \lnot \ A \lor B \]

蕴含等值式为一切之大宗，命题演算题之本

\[德 · 摩根律\ \ \begin{cases} \lnot \ (A \land B)\Leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B\\ \lnot \ (A \lor B)\Leftrightarrow \lnot A \land \lnot B\\ \end{cases} \]

带着析取/合取 一起负

\[假言易位\ \ A \rightarrow B\Leftrightarrow \lnot B \rightarrow \lnot A \]

顾名思义，“假言” ——两边皆负 ；“易位” ——前后调换

对于等幂律、排中律和矛盾律、零律和同一律，甚至假言易位其实仅口算也能很容易得出结论，在实际应用过程中，按理来说是不需要去特意使用的。但恶心就恶心在考试的时候要求你在每一步后面标出你应用了什么等值式，然后你就不得不骂骂咧咧的把他们死记硬背下来。

cnm！

下一章讲主析取范式和主合取范式……