「随笔 3」modules over non-commutative PID

考虑如下 \(k\)-代数

\[k_{\sigma}[T] = \bigoplus_{i\geq 0} k\cdot T^i \]

满足运算 \(Tc = \sigma(c)\cdot T\)，其中 \(\sigma\colon k\to k\) 是一个域自同态。当 \(\sigma = \mathrm{id}_k\) 时，该代数还原了我们常见的多项式环。为建立直观，正如 \(k[T]\)-模对应了一个 \(k\)-线性空间 \(V\) 配以 \(k\)-线性自同态 \(\rho\)，\(k_{\sigma}[T]\)-模则对应了一个 \(k\)-线性空间 \(V\) 配以 \(k\)-半线性（semi-linear）自同态 \(\rho\)，也即

\[\rho(c\cdot v) = \sigma(c)\cdot \rho(v). \]

例如当 \(k\) 的特征是 \(p\) 时，可以取 \(\sigma \colon x\mapsto x^p\)，也即 Frobenius 自同态。

Fact. 在如上假设下，\(\mathbb G_{a}\) 作为 \(k\)-代数群的自同态环为 \(k_{\sigma}[T]\)，且

\[\mathrm{Ext}^1(\mathbb G_a, \mathbb G_a) \]

是秩 1 自由 \(k_{\sigma}[T]\)-模，由群扩张列

\[0\to\mathbb G_a\to W_2\to\mathbb G_a\to 0 \]

自由生成。

由于 \(\mathbb G_{a}\) 在构建幂等群理论中具有基础性，研究 \(k_{\sigma}[T]\)-模也就成为了一个自然而然的问题。

---

为了给不太了解非交换环理论的读者敲一个警钟（比如我自己），我们必须指出，在非交换环中很多理所当然的事情都将可能变得病态。例如不变基数性质（Invariant Basis Number, IBN）：对于环 \(R\) 而言

\[R^{\oplus n}\cong R^{\oplus m}\implies n = m, \]

在非交换环上有使其失效的反例。

当然我们这里的例子没有这么极端。正如我们在标题中缩写的，我们将要研究的 \(k_{\sigma}[T]\) 是一个主理想整环——或者更准确的说，左-主理想整环。其证明思路完全类似于多项式环：我们可以在 \(k_{\sigma}[T]\) 上面定义“欧几里得环”结构。

Lemma. 对于 \(f\in k_{\sigma}[T]\setminus 0, g \in k_{\sigma}[T]\)，存在 \(h\in k_{\sigma}[T]\) 使得 \(\deg(g - h\cdot f) < \deg f\)（定义 \(\deg 0 = -\infty\)）。

Proof. 设 \(f = \sum_{k=0}^{n} a_nT^n,a_n\neq 0\)，再设 \(g = \sum_{k=0}^m b_mT^m\)。

若 \(m < n\) 已经成立，则取 \(h = 0\) 即可；

否则，令 \(h_m = C_m\cdot T^{m-n}\)，其中 \(C_m\) 是待定的常数。我们有

\[g - h\cdot f = \sum_{k=0}^m b_m T^m- \sum_{k=0}^nC_m\cdot \sigma^{m-n}(a_k)T^{m-n+k}, \]

其中最高次项为 \(b_m - C_m\cdot\sigma^{m-n}(a_n)\)。取 \(C_m = b_m\cdot\left(\sigma^{m-n}(a_n)\right)^{-1}\) 即可消去最高此项。继续此操作即可完成我们的目标。[\square]

Remark. 当然，这样的 \(h\) 是唯一的。

利用这一结构即可证明每个左理想都是由其次数最小的元素生成，不再赘述。如果 \(k\) 是完美域，\(\sigma\colon x\to x^p\) 将是可逆的，故我们同样可以证明 \(k_{\sigma}[T]\) 同时是一个右主理想整环。

回忆对于交换 PID 上有限生成模结构的证明，我们处理了 \(R^{\oplus m}\to R^{\oplus n}\) 对应的矩阵，将其约化成了对角型。然而，这一约化过程需要同时处理矩阵行变换和列变换，换句话说需要同时考虑左乘一个矩阵和右乘一个矩阵——只有当 \(R\) 同时是左 PID 和右 PID 的时候，这一证明才行得通，我们得以知道 \(R\) 上的有限生成模是循环模的直和。

---

对于仅是左 PID 的情况（对应我们设定的 \(k\) 不是完美域，\(\sigma\colon x\to x^p\) 时的 \(k_{\sigma}[T]\)），我们仍有一些可以达成的目标：i) 证明所有的自由模的子模都是自由的；ii) 证明所有有限生成的挠自由右模都是自由的。

第 1 条是一个标准的 Zorn-引理式的论证：设 \(F = R^{I}\)，\(M\) 是 \(F\) 的一个子模。考虑

\[S = \{J\subset I : M\cap R^J\text{ is free}\}, \]

并取其中的极大者。若它不是整个 \(I\)，则考虑

\[0\to R^{J}\to R^J\oplus R\to R\to 0, \]

以及

\[0\to M\cap R^{J}\to M\cap(R^J\oplus R)\to M'\to 0. \]

\(M'\) 是 \(R\) 中理想，从而是一个自由模，当然也就投射。故上述正合列分裂，给出 \(M\cap(R^J\oplus R)\) 是自由模的直和分解。

关于第 2 条则稍微有点棘手。读者可以在后面的参考资料中的 Prop 2.3.19. 中找到这一点。其思路大概是考察模的一组极小生成元 \(x_{1\dots n}\)，若其存在关系 \(\sum a_ix_i = 0\)，则可以选择另一组生成元 \(x_{1\dots n}'\) 使得关系变成 \(a x_1' = 0\)（\((a) = (a_i)\) 是理想的生成元），然后利用挠自由性得到 \(x_1' = 0\)，也即一组更小的生成元 \(x_{2\dots n}'\)。

---

主要参考资料是 Free Ideal Rings and Localization in General Rings。