Atcoder Beginner Contest 428 补题记录

C. Brackets Stack Query

题目大意

给予你 1 个空的字符串与 \(q\) 个询问，形如 1 ( 的询问将在字符串后增加 1 个 ( 字符，形如 2 的询问将会移除最后 1 个字符。在每次询问之后，你需要回答当前字符串中的左右括号是否能恰好匹配。

解法

性质：让我们假定存在 1 个只含有 ( 和 ) 的字符串 \(S\) ，再假定 1 个数组 \(A\) ，其中 \(A_0 = 0\) 且 \(A_i = A_{i-1} + S_i\) ，在这里我们认为， '(' = 1 ，同时 ')' = -1 。可以容易看出当 \(A_{|S|}=0\) 时，左右括号数量是相等的。同时，也容易发现如果 \(A\) 中有小于 0 的项，则一定有某个时刻右括号多于左括号。一旦这种情况发生，无论后面补上了多少左括号都没法做到匹配。

因此，我们要动态维护一个支持 \(O( 1)\) 入栈，出栈和查询栈内最小值的数据结构。这里采用第二个栈来保存历史上每个时刻的最小值，这样就可以在出栈后进行还原。也就是在第二个栈入栈时要和栈顶比较，如果小于栈顶直接入栈，如果大于栈顶就将栈顶再次入栈。在出栈时，两个栈顶同时出栈。这样，第二个栈的栈顶就一直维护了第一个栈的最小值数据。

代码实现

具体实现上，由于 cin 和 cout 常数很大，需要优化一下，否则会 TLE。

#include <bits/stdc++.h>

#define pb push_back
#define ob pop_back

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

ll q;

int main() {
	cin.tie(0) -> sync_with_stdio(0);
	cin >> q;
	vector<int> A{0}, B{0};
	for(int i = 1; i <= q; i ++) {
		int op = 0;
		cin >> op;
		if(op == 1) {
			char c;
			cin >> c;
			A.pb(A.back() + (c == '(' ? 1 : -1));
			B.pb(min(A.back(), B.back()));
		} else {
			A.ob();
			B.ob();
		}
		cout << ((A.back() == 0 && B.back() == 0) ? "Yes" : "No") << '\n';
	}
}

D. 183184

题目大意

定义函数 \(f(x,y)\) 就是将 \(x\) 和 \(y\) 两个数前后拼接在一起。现在给你 2 个正整数 \(C,D\) ，找到满足下列 2 个条件的正整数 \(x\) 的个数。

• \(1\le x \le D\)
• \(f(C, C+x)\) 为完全平方数

解法

假定 \(C +x\) 共有 \(d\) 位，那么 \(x\) 必须要满足：

• \(1\le x \le D\)
• \(10^{d-1}-C\le x\le 10^d - 1 -C\)

那么容易定义 \(x\) 的上下界：\(L = \max(1, 10^{d-1} - C)\) ，\(R=\min(10^d-1-C, D)\).

因为我们已经假定了 \(C +x\) 共有 \(d\) 位，因此在这个条件下，题目要求的完全平方数的取值范围在 \([\ C\times 10^d + C +L\ ,C\times10^{d} + C + R\ ]\) .

一个结论是，总共有 \(\lfloor \sqrt{k} \rfloor\) 个小于 \(k\) 的完全平方数，因此在 \(d\) 位的条件下满足条件的答案的个数应当是 \(\lfloor\sqrt{C\times10^{d} + C + R}\rfloor -\lfloor\sqrt{\ C\times 10^d + C +L-1}\rfloor\) .

现在只需要求出每个可能的 \(d\) 的答案之和就可以了。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll t, c, d;

ll f (ll x) {
	ll y = sqrt(x);
	while (y * y > x) y--;
	while ((y + 1) * (y + 1) <= x) y++;
	return y;
}

void solve() {
	cin >> c >> d;
	ll ans = 0;
	ll xmin = 1, xmax = 9, cshift = 10;
	while(xmin <= c + d) {
		ll l = max(xmin, c + 1);
		ll r = min(xmax, c + d);
		if(l <= r) {
			ll vl = c * cshift + l;
			ll vr = c * cshift + r;
			ans += f(vr) - f(vl - 1);
		}
		xmin *= 10;
		xmax = (xmax + 1) * 10 - 1;
		cshift *= 10;
	}
	cout << ans << endl;
}

int main() {
	cin.tie(0) -> sync_with_stdio(0);
	cin >> t;
	while(t --) {
		solve();
	}
}