快速幂

快速幂就是将指数二进制化

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;

LL qmi(LL a, int b, int p)
{
	LL res = 1;
	while(b){
		if(b&1)
			res = res*a%p; 
		a = a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin>>n;
	while(n--){
		int a, b, p;
		cin>>a>>b>>p;
		cout<<qmi(a, b, p)<<endl;
	}
	
	return 0;
}

快速幂求逆元

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义
若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,pi≤2∗109
输入样例：
3
4 3
8 5
6 3
输出样例：
1
2
impossible

当p为质数时，a%p的乘法逆元就是a^(p-2)%p

当a与p不互质时，没有乘法逆元

a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;

LL qmi(LL a, int b, int p)
{
	LL res = 1;
	while(b){
		if(b&1)
			res = res*a%p;
		a = a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin>>n;
	while(n--){
		int a, p;
		if(a%p)
			cout<<qmi(a, p-2, p);
		else
			puts("impossible");
	}
}