二分图

将所有的点分为两个集合，使得所有的边都在集合之间，即为二分图
一定不含奇数环

染色法判定二分图

模板题 【染色法判定二分图】

思路：dfs(j, 3-c)可以将j点染成与u点不一样的颜色

for(n个点){
将未染色的点进行dfs，默认染成1或2
if（当前点不能被染成不同于u点的颜色或当前点颜色与u点一样）
染色失败
}

题解

    #include<bits/stdc++.h>

    using namespace std;

    const int N = 1e5+10, M = 2e5+10;

    int n, m;
    int h[N], e[M], ne[M], idx;
    int color[N];

    void add(int a, int b)
    {
    	e[idx] = b;
    	ne[idx] = h[a];
    	h[a] = idx++;
    }

    bool dfs(int u, int c)
    {
    	color[u] = c;
    	for( int i = h[u]; i != -1; i = ne[i] ){
    		int j = e[i];
    		if(!color[j]&&!dfs(j, 3-c))//如果当前点没被染色，染成另一种颜色
    				return false;
    		else if(color[j]==c)
    			return false;
    	}
    	return true;
    }

    int main()
    {
    	cin>>n>>m;
    	memset(h, -1, sizeof h);
    	while(m--){
    		int a, b;
    		cin>>a>>b;
    		add(a, b);
    		add(b, a);
    	}
    	bool flag = true;
    	for( int i = 1; i <= n; i++ )
    		if(!color[i]&&!dfs(i, 1)){//染色，如果有矛盾发生
    		    flag = false;
    		    break;
    		}
    	if(flag)
    		puts("Yes");
    	else
    		puts("No");
    	
    	return 0; 
    }

匈牙利算法

匹配：边的集合，任意两条边没有公共顶点
最大匹配：一个图的所有匹配中，所含边数最多的匹配

match[j] = x; //j当前跟x配对
st[j] = x; //本轮模拟匹配中j已经被x预定

大致框架：

bool find(int x)
{
遍历可以与自己匹配的点
if（这一轮j尚未被预定）
x预定这个点；
if（这个点没有原配，或原配有其它点可以匹配）
配对成功
配对失败
}

模板题 【二分图的最大匹配】

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2

代码

    #include<bits/stdc++.h>

    using namespace std;

    const int N = 510, M = 1e5+10;

    int n1, n2, m;
    int h[N], e[M], ne[M], idx;
    int match[N];

    bool st[N];

    void add(int a,int b)
    {
    	e[idx] = b;
    	ne[idx] = h[a];
    	h[a] = idx++;
    }

    int find(int x)
    {
    	for( int i = h[x]; i != -1; i = ne[i] ){
    		int j = e[i];
    		if(!st[j]){
    			st[j] = true;
    			if(!match[j]||find(match[j])){
    				match[j] = x;
    				return true;
    			}
    		}
    	}
    	return false;
    }

    int main()
    {
    	memset(h, -1, sizeof h);
    	cin>>n1>>n2>>m;
    	while(m--){
    		int a, b;
    		cin>>a>>b;
    		add(a, b);
    	} 
    	int res = 0;
    	for( int i = 1; i <= n1; i++ ){
    		memset(st, false, sizeof st);
    		if(find(i))
    			res++;
    	}
    	cout<<res<<endl;
    	
    	return 0;
    }