最小生成树

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

稠密图

prim算法：采用一种贪心的策略
设s为连通块中所有点的集合
1.dist[i] = INF;
2.for(n次){
t-<S外离s最近的点
用t更新s外的点到s的距离
n次迭代后所有点加入S中
}
<!- Djikstra是更新到起点的距离，Prim是更新到集合S的距离 ->

模板题 【Prim求最小生成树】

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6

题解

    #include<bits/stdc++.h>

    using namespace std;

    const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

    int n, m;
    int g[N][N];
    int dist[N];

    bool st[N];

    int prim()
    {
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        dist[1] = 0;
        int res = 0;
        for( int i = 1; i <= n; i++ ){
            int t = -1;
            for( int j = 1; j <= n; j++ )
                if(!st[j]&&(t==-1||dist[t] > dist[j]))
                    t = j;
            if(dist[t]==INF)
                return INF;
            res+=dist[t];
            st[t] = true;
            for( int j = 1; j <= n; j++ )
                dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        }
        return res;
    }

    int main()
    {
        cin>>n>>m;
        memset(g, 0x3f, sizeof g);
        while(m--){
            int u, v, w;
            cin>>u>>v>>w;
            g[u][v] = g[v][u] = min(g[u][v], w);
        }
        int t = prim();
        if(t==INF)
            puts("impossible");
        else
            cout<<t<<endl;
        
        return 0;
    }

稀疏图

Kruskal算法
1.将所有边按权重从小到大排序
2.枚举每条边a, b
if(a,b不连通)//利用并查集
将a,b加入到集合中
变量cnt记录加入集合的边数，若cnt < n-1表示不能遍历所有点

模板题 【Kruskal求最小生成树】

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。

输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6

    #include<bits/stdc++.h>

    using namespace std;

    const int N = 1e6+10, INF = 0x3f3f3f3f;

    int n, m;
    int p[N];

    struct Edge{
        int u, v, w;
        bool operator < (const Edge &W)const
        {
            return w < W.w;
        }
    }edges[N];

    int find(int x)
    {
        if(p[x]!=x)
            p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }

    int Kruskal()
    {
        int res = 0, cnt = 0;
        for( int i = 0; i < m; i++ ){
            int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
            int a = find(u), b = find(v);
            if(a!=b){
                p[a] = b;
                res+=w;
                cnt++;
            }
        }
        if(cnt < n-1)
            return INF;
        else
            return res;
    }

    int main()
    {
        cin>>n>>m;
        for( int i = 0; i < n; i++ )
            p[i] = i;
        for( int i = 0; i < m; i++ ){
        	int u, v, w;
        	cin>>u>>v>>w;
        	edges[i] = {u, v, w};
    	}
    	sort(edges, edges+m);
    	int t = Kruskal();
    	if(t==INF)
    		puts("impossible");
    	else
    		cout<<t<<endl;
    		
    	return 0;
    }