二分查找总结——二分查找细节分析 + 红蓝染色法（Leetcode 34）
1. 写在前面
本文为个人学习总结，二分算法参考：B站Up：灵茶山艾府（二分查找 红蓝染色法）
视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1AP41137w7/
Leetcode题目：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
测试样例1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
测试样例2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
2. 二分查找的区间细节分析
二分查找(Binary Search)的算法思想是十分简单的，但二分法的细节却惊人的多。以下是一份二分查找的代码示例，在敲定二分法的代码时，我们通常会遇到注释的细节问题：
// 下方代码的作用：查找有序正整数数组nums[]中第一个≥target的数的位置（下标）
// 待查找数组 nums[], 待查找数 target
int left = 0; // 数组最左端元素下标
int right = nums.length - 1; // 数组最右端元素下标
while(left <= right){ // 是left<right呢还是left<=right呢
int mid = (left + right) / 2;
if(nums[mid] >= target){ // 可以是nums[mid] > target吗
right = mid - 1; // 是right = mid - 1呢还是right = mid呢？
}else{
left = mid + 1; // 同理，可以是left = mid 吗？
}
}
return left;
其实，上面的情况都是可能存在的，而具体的代码写法要取决于我们对于查找区间的开闭选定，这个区间其实指的就是我们查找的范围，即left 和 right圈定的范围，常见的区间选定方法有：
- 左闭右闭 [left, right]
- 左闭右开 [left, right)
- 左开右开 (left, right)
当我们在写二分查找的代码的时候，一定要先明确我们选定的区间的闭合情况，在整个二分查找的过程中都应该去遵循这个区间，才能保证我们的二分查找代码不出错。
什么意思呢？我们来对不同情况分析一下。
① 左闭右闭[left, right]
区间左闭右闭，也就是说我们每次二分查找的时候是包含left和right索引指向的那个数的，那么，我们对left和right的初始化应该如下所示：
// 待查找数组 nums[], 待查找数 target
// 假设nums为[1，2，5，8，11，12，13]
int left = 0; // 数组最左端元素下标
int right = nums.length - 1; // 数组最右端元素下标
while(left <= right){
int mid = (left + right) / 2;
if(nums[mid] >= target){
right = mid - 1;
}else{
left = mid + 1;
}
}
return left;
在代码中，left指向nums的第一个数，right指向nums的最后一个数，此时查找范围涵盖了整个数组，没有问题，对于其他的编写细节：
i) while(left<=right)
前文提及，我们需要一直遵守我们选择的区间，那么，我们就需要去判断left=right对于当前选择的区间是不是合法的。
当left=right时，显然，对于[left, right]这个区间有意义，因此我们此时还不能结束循环。循环条件为left<=right
ii) right = mid - 1 || left = mid + 1
由于我们的区间是左闭右闭区间，包含两端，如果right = mid，我们的下一次查找区间为：[left, mid]，此时mid指向的元素又被包括进来了，但是在之前的if条件判断中，我们知晓了nums[mid]与target的关系，所以下一次查找没有必要将mid指向的元素包括进来了，因此right = mid - 1。
left = mid + 1的情况同理。
// nums为[1，2，5，8，11，12，13]， target为2
第一次查找区间索引：[0, 6], mid = 3
nums[mid] = 8 > 2， right = mid - 1 = 2
下一次查找区间索引：[0, 2] (1,2,5)
//假设right = mid 则下一次查找区间索引：[0, 3]，包括的元素为1，2，5，8
//但我们之前已经知道了mid指向的8是不符合条件的了，所以没有必要包含到下一次查找了
① 左闭右开[left, right）
左闭右开，即不包含right指向的数，那么我们的代码会发生如下变化：
// 待查找数组 nums[], 待查找数 target
// 假设nums为[1，2，5，8，11，12，13]
int left = 0;
int right = nums.length; // 数组长度！这里变了！
while(left < right){ // 循环条件变了！
int mid = (left + right) / 2;
if(nums[mid] >= target){
right = mid; // 变啦！
}else{
left = mid + 1;
}
}
return left;
i) 变化一：right的值
int right = nums.length;
区间为左闭右开，即不包含right指向的元素。因此，为了将查找范围涵盖整个数组，right不能为nums.length - 1，否则会丢失数组最后一个元素。
ii) 变化二：循环条件
在左闭右开区间 [left, right) 中，left = right是没有意义的（如：(1,1]是没有意义的)，因此在left = right时就可以结束循环了。循环条件为left<right，而非left<=right。
** iii) 变化三：下一次查找的right值**
right = mid， 即下一次查找的区间为：[left, mid)，下一次查找不会包含mid了，是符合我们之前的做法的。left = mid + 1是因为区间左闭，假如left = mid，下一次查找又会将mid指向的元素包括进来了，没有必要。
3. ☆☆红蓝染色法☆☆
红蓝染色法，即将我们二分查找的数组划分为蓝色、红色两个区域，蓝色区域表示符合条件的数（True）的范围，红色区域表示不符合条件的数（False）的范围
我们二分查找主要有如下情况：
① 查找 ≥x 的第一个元素
② 查找 >x 的第一个元素
③ 查找 <x 的最后一个元素
④ 查找 ≤x 的最后一个元素
但系！这上面这四种情况都可以用一个代码来解决，我们后续会进行分析。
我们先来看第一种情况，即查找≥x的第一个元素。我们用红蓝染色法来分析一下过程：
示例数组nums[]：5 7 7 8 8 10
目标：查找 ≥8 的第一个元素的下标
定义：L的左边为红色区域，R的右边为蓝色区域
初始时，红色和蓝色区域未扩展，分别在两侧
红色区域：[]
蓝色区域：[]
第一次: M = (L + R) / 2 = 2 (下取整)
红| | 蓝
5 7 7 8 8 10
↑ ↑ ↑
L M R
由于nums[M]<8, L = M + 1
-----------------------------------------
红色区域：[5，7，7]
蓝色区域：[]
第二次: M = (L + R) / 2 = 4 (下取整)
红 | | 蓝
5 7 7 8 8 10
↑ ↑ ↑
L M R
由于nums[M]≥8, R = M - 1
-----------------------------------------
红色区域：[5，7，7]
蓝色区域：[10]
第三次: M = (L + R) / 2 = 3 (下取整)
红 | | 蓝
5 7 7 8 8 10
↑↑↑
LMR
由于nums[M]≥8, R = M - 1
-----------------------------------------
最终：循环结束时，R在L的左边，如下：
红色区域：[5，7，7]
蓝色区域：[8，8，10]
红|蓝
5 7 7 8 8 10
↑ ↑
R L
此时，返回R+1位置的元素即为所求，或者返回L位置的元素也可以。
// 采用左闭右闭区间，代码如下（其实就是我们上面一直在分析的代码）：
class Solution {
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
int[] res = new int[2];
// 寻找第一个 ≥target 的数的位置
int start = binarySearch1(nums, target);
// 数组中的数都<target 或 找到的数并不满足条件
if(start==nums.length||nums[start]!=target) return new int[]{-1,-1};
// 找 ≥target 的最后一个元素的位置 => 等价于找≥target+1 的第一个元素的左边一个数
// 如：5 7 7 8 8 10，找8的最后一个，即找满足≥9的第一个(10)的左边一个数
int end = binarySearch1(nums, target+1)-1;
res[0] = start;
res[1] = end;
return res;
}
// 二分搜索 红蓝染色法 左闭右闭区间~~
int binarySearch1(int[] nums, int target){
int left = 0, right = nums.length-1;
while(left<=right){
int mid = (right-left)/2 + left;
if(nums[mid]<target){
left = mid + 1;
}else{
right = mid - 1;
}
}
return left;
}
}
PS：二分查找的情况转换
在上面，我们给出了查找 ≥x 的第一个元素的代码，对于其他情况：
① 查找 >x 的第一个元素
可转换为：查找满足≥(x+1)的第一个元素
② 查找 <x 的最后一个元素
可转换为：查找满足≥x的第一个元素的左边那个数
③ 查找 ≤x 的最后一个元素
可转换为：查找满足>x的第一个元素的左边那个数
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