3930: [CQOI2015]选数

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Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

 

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

 

Output

输出一个整数，为所求方案数。

 

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

 

正解应该是莫比乌斯反演，用特殊性质的dp+快速幂水过了。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define LL long long
const int MAXN=100005;
const int mod=1000000007;
LL n,k,l,h;
LL f[MAXN];

LL modexp(LL a,LL b)   
{   
    LL ret=1;   
    LL tmp=a;   
    while(b)   
    {
        if(b&1) ret=ret*tmp%mod;   
        tmp=tmp*tmp%mod;   
        b>>=1;   
    }   
    return ret; 
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&h);
    for(LL i=h-l;i>=1;i--)
    {
        LL L=(l-1)/(k*i),R=h/(k*i);
        f[i]=(modexp(R-L,n)-(R-L)+mod)%mod;
        for(LL j=2;i*j<=h-l;j++)
            f[i]=(f[i]-f[i*j]+mod)%mod;
    }
    if(l<=k&&k<=h) f[1]++;
    printf("%lld",f[1]);
    return 0;
}