好玩的数据结构

（注：为了方便就先把图咕了）

猫树

（在 Illusory_dimes 学习 SAM 时找例题找到的 cmd 的神仙题顺便学的）

基本信息

这是一个比较良心的数据结构，代码属于比较易懂也好打。只是有可能目前的应用范围有点小。

猫树呢，大概是一个能 \(O(n\log n)\) 建树， \(O(1)\) 查询，不太能修改（你非要的话就 \(O(n)\) ），维护信息需要满足结合律且能在可接受复杂度合并。

算法实现

建树

以查询出发，我们假设我们答案要的区间是 \([{\rm l},\ {\rm r}]\) ，那么假设我们已经能知道 \([{\rm l},\ {\rm mid}]\) 和 \([{\rm mid} + 1,\ {\rm r}]\) 的答案，那是不是直接合并就行了。

我们想象线段树建树是 \([{\rm L},\ {\rm R}]\) 递归到 \([{\rm L},\ {\rm Mid}]\) 和 \([{\rm Mid} + 1,\ {\rm R}]\) ，以左边这个小区间为例，如果我们直接处理 \([{\rm L}-{\rm Mid},\ {\rm Mid}]\) 的答案，因为最多递归 \(\log n\) 次，整个时间复杂度就是 \(O(n \log n)\) ，还是比较能够接受的。

然后我们发现假如一个答案区间 \([{\rm l}, {\rm r}]\) 的 \({\rm l}\) 和 \({\rm r}\) 在递归的同一小区间，就并不是我们处理时能取到的答案，直到最后递归到了一个区间 \({\rm l}\) 和 \({\rm r}\) 被分开了，我们就能找到一个 \({\rm mid}\) 能合并两边的答案，从而我们就达到了目的。

然后我们思考怎么存答案，对于每一层，不同的区间所在范围互不交叉，所以我们以层数为第一维，具体的哪一个位置为第二维。

查询

但是没完，我们要求的是 \(O(1)\) 查询，但是我们好像不知道怎么一下子定位在哪个区间能合并。

能发现两个点作为两个叶子节点，他们的 \({\rm lca}\) 就是答案所在的区间，因为此时两个点所在的区间被合并成一个大区间了，正好就是有一个 \({\rm mid}\) 大于 \({\rm l}\) 且小于 \({\rm r}\) 。

那是不是什么 ST 表就可以了？？其实还可以更简单！！

好像一些性质没用上，我们来想假如两个值在一个区间被分开了，那他们会有什么联系。

好像没有什么性质吧，因为边界是 \([1,\ n]\) ，那就改成 \([1,\ 2 ^ m]\) ，其中是 \(2 ^ m\) 大于 \(n\) 中最小的数。本质上时间复杂度不会变，但是加入两个数被分开，假如目前是第 \(k\) 层，那就是第 \(k\) 高位不一样。

这就相当于两个异或之后前 \(k - 1\) 位全部消失，那我们只要预处理二进制位数，我们就能很快得到 \(k\) 的值，因为答案存的方式正好需要 \(k\) ，正好就可以马上算出答案了，也就是真正意义上的 \(O(1)\) 了。

修改

修改你大爷，以单点修改为例，影响的地方从第一层一直到自己所在的叶子，所在区间大小和为：

\[\sum_{i = 1} ^ {m} \frac{n}{2 ^ i} = n \]

搞屁，修改都是 \(O(n)\) 的，那就不修改（当然什么修改次数很小倒是可以考虑考虑）

猫树分治

前景提要：某些卡空间但是没有要求强制在线的题

其实处理方法很简单，就有点归并排序的意思，每次递归两个小区间，就扫一遍询问，把答案能算的算了，不能算了分成两拨继续递归就好啦。

这样的话时间复杂度不变，空间复杂度从原先 \(O(n \log n)\) 变成 \(O(n)\) 了。

例题

GSS1（最大子段和）

GSS5（区间端点带限制最大子段和）

好吃的题目（猫树分治）

[CmdOI2019]口头禅（猫树分治 + SAM ）

全局二叉平衡树

（听了 After_glow 的链分治顺便学的）

前置背景

有些时候，对于链分治问题，我们常常会为了究竟是用重链剖分还是 LCT 而纠结，因为一个理论复杂度大但是常熟小，另一个理论复杂度小但是常熟巨大。

实质上，树剖时用数据结构维护局部（重链），而 LCT 是对整棵树维护形态变化的 splay ，所以说前者不能一次性解决问题，后者在形态上的调整又太费时间。

但是对于链修改链查询的问题，我们是否能用一个形态不变的数据结构维护全局的答案，于是就有了这玩意。。

实现

似乎我们想要在 LCT 上做手脚是不太可能了，来看树剖，如果一个点轻儿子总 \(siz\) 过大，全部把它放到重链线段树末尾肯定不优，我们可以考虑一下更换一下重链的维护方式，能让轻儿子的影响也降到最小。

我们令每个点的权值就是轻儿子 \(siz\) 总和，然后每次找到重链上的带权重心作为该层的节点，然后递归下去，这让的话每次递归一下总 \(siz\) 会减半，树高同样也是 \(\log siz\) 级别的。

重链之间的连边就还按照虚边的连法照做就行了，这样的话总树高仍然是 \(\log n\) 级别的，所以单次询问的时间能降下来，并且常数也很小。

例题

看着吧，找到了就加。（多找找 LCT 的题看）

QTree4

莫队二次离线

（ caoyue 讲题第二次遇到，还是选择来细学一下）

背景

平时又很多离线问题能够用莫队干爆，但是有些要求维护的东西并不能做到 \(O(1)\) 修改，从而让时间复杂度变得有点棘手。

求区间逆序对个数。

莫队确实能做，修改一个点，整一个差分就能 \(\log\) 找新答案，但是却成了不可避免的瓶颈，因为这样复杂度变成 \(\sqrt{n} \cdot \log n\) 的，会变得不好看。

那考虑 \(\sqrt{n}\) 怎么去解决这个问题，所以就有了这玩意。

实现

还是以求区间逆序对个数为例，朴素莫队的做法大概就是对于区间 \([l,\ r]\) ，我们加进来 \(r + 1\) 这个点的时候，答案就会多 \([l,\ r]\) 和 \(r + 1\) 中逆序对的个数。

考虑差分，可以转化成 \([1,\ r]\) 和 \(r + 1\) 中逆序对的个数减去 \([1,\ l - 1]\) 和 \(r + 1\) 中逆序对的个数.

前者是固定的值，但是后者可能会有多次询问，如果每次都这样 \(\log\) 询问一次，确实有点浪费，我们或许可以考虑考虑把这些操作再次离线下来。

现在来说操作自由度变高了，可以来考虑考虑怎么高效利用这个自由度。

首先明确目的，我们是一定要能 \(O(1)\) 查询，至于插入，因为我们只要插入 \(n\) 个数就行了，甚至我们可以接受 \(\sqrt{n}\) 级别的插入。

啊，值域分块，怎么做就不用细讲了。

可能有些出题人（我不说是谁）卡了空间，所以我们不可能存下来所有 \(n \cdot \sqrt{n}\) 个操作。但是我们发现也不需要，因为每次莫队移动是对于单个端点的连续移动，所以可以每次把移动区间压到一起，这样空间就是现行的了。

例题

【模板】 莫队二次离线(第十四分块(前体))

[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

[LnOI2019]来者不拒,去者不追

[Ynoi2018] GOSICK