扩展GCD

引入

　　扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

　　引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

　　证明：

       　　当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

       　　当 b!=0 时，

　　       设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

       　　又因 a%b=a-a/b*b

       　　则   ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

CODE：

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}

　　exgcd 解不定方程（使用不将a与b转为互质的方法）

 

　　对于 ax+by=c 的不定方程，设 r=gcd(a,b)

 

　　当 c%r!=0 时无整数解

 

　　当 c%r=0 时，将方程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式

 

　　可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 x0 , y0

 

　　而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 *c/r 转变回去

 

　　（如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2）

 

　　则原方程解为 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r

 

　　通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数

 

　　证明：

 

　　　　将 x , y 带入方程得

 

　　　　ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c

 

　　　　ax+by=c

 

　　　　此等式恒成立

 

　　　　得证

 

　　这里 b/r 与 a/r 为最小的系数，所以求得的解是最多最全面的

 

栗1（题目戳这里）

　　这道题求得就是最小解，所以只要输出(x % b + b) % b就可以啦

　　CODE:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    
    if(b == 0) x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}

int main() {

    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
    
    int x, y;
    
    exgcd(n, m, x, y);

    printf("%d\n", (x+m)%m);

    return 0;
}

练习

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2613
POJ 1061 http://poj.org/problem?id=1061
POJ 2115 http://poj.org/problem?id=2115
POJ 2142 http://poj.org/problem?id=2142
UVA 10090 https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1031
http://codevs.cn/problem/1213/