概率&期望

【概率】

　　%%%无意中找到一位大佬的博客讲三条概率公式，讲得极好，戳这里

　　公式

　　1、条件概率公式

　　　　　　　　　　   

　　2、全概率公式

　　　　　　　　　　  

　　3、贝叶斯公式

　　　　　　　　　　  

【期望】

　　公式

　　离散型随机变量X的取值为  ，  为X对应取值的概率，可理解为数据 出现的频率 ，则：

　　　　　　

　　　　　　

栗1（高斯消元系列）（题目戳这里）

　　题意：一个人在数轴上来回走，以pi的概率走i步i∈[1, m]，给定n（数轴长度），m，e（终点），s（起点），d（方向），求从s走到e经过的点数期望。

　　CODE：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MLn = 220;
const double eps = 1e-8;

int n, m, s, e, tmp, N;

double p[MLn], a[MLn][MLn], x[MLn];

queue <int> q;

int num[MLn], cnt = 0;

bool Gauss() {
    for (int i=0; i<cnt; i++) {
        
        int id = i;
        for (int j=i+1; j<cnt; j++)
            if(fabs(a[id][i]) < fabs(a[j][i])) id = j;
        if(fabs(a[id][i]) < eps) return false;
        
        if(i != id)
        for (int j=0; j<cnt; j++) 
            swap(a[i][j], a[id][j]);
        swap(x[id], x[i]);
    
        for (int j=0; j<cnt; j++) {
            if(j == i || !a[j][i]) continue;
            double te = a[j][i] / a[i][i];
            x[j] -= x[i] * te;
            for (int k=i; k<cnt; k++) 
                a[j][k] -= a[i][k]*te;
        }
    }
    return true;
}

void bfs() {
    
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(num, -1, sizeof(num));
    
    num[s] = cnt++, q.push(s);
    while(!q.empty()) {
        
        int u = q.front(); q.pop();
        for (int i=1; i<=m; i++) {
            
            int t = (i+u) % N;
            if(fabs(p[i]) < eps || num[t]!=-1) continue;
            
            num[t] = cnt++, q.push(t);
        }
    }
}

int main() {
    
    int T; scanf("%d", &T);
    
    while(T--) {
        
        cnt = 0;
        
        scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &e, &s, &tmp);
        
        for (int i=1; i<=m; i++) scanf("%lf", &p[i]), p[i]/=100;
        
        if(e == s) { printf("0.00\n"); continue; }
    
        N = 2 * (n-1);
        
        if(tmp == 1) s = N-s;
        
        bfs();
        
        if(num[e]==-1 && num[N-e]==-1) {
            printf("Impossible !\n");
            continue;
        }
        
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(x, 0, sizeof(x));
        
        for (int i=0; i<N; i++) {
            
            if(num[i]==-1) continue;
            if(i == e || i == N-e) {
                a[num[i]][num[i]] = 1, x[num[i]] = 0;
                continue;
            }
            a[num[i]][num[i]] = 1;
            for (int j=1; j<=m; j++) {
                int t = (i+j) % N; if(num[t]==-1) continue;
                a[num[i]][num[t]] -= p[j], x[num[i]] += j * p[j];
            }
        }
    
        if(Gauss()) printf("%.2lf\n", x[num[s]]/a[num[s]][num[s]]);
        else        printf("Impossible !\n");
    }

    return 0;
}

 栗2（题目戳这里）

　　CODE：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
double p[22];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
        double ans=0;
        for (int i=1; i<(1<<n); i++) {
            int cnt = 0;
            double sum = 0;
            for (int j=0; j<n; j++)
                if(i&(1<<j)) {
                    sum+=p[j];
                    cnt++;
                }
            if(cnt&1) ans += 1.0/sum;
            else ans -= 1.0/sum;
        }
        printf("%.4lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

练习

hdu 4418 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4418

hdu 4336 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4336

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3412

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1297

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3566

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1415

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4820