线性筛法

Eratosthenes筛法

　　虽然Eratosthenes筛法并不是线性的，但是它的时间复杂度是O(NloglogN)，已经是很快了，是竞赛中最常见的质数筛法，所以在这里简单的提一下：这个方法的核心就是知道得到一个质数后，将i*i~n的合数筛除，这里就直接贴上CODE：

for (int i=2; i<=n; i++) {
    
    if(vis[i]) continue;
        
    prime[++tot]=i;
        
    for(int j=i; j<=n/i; j++) vis[i*j]=1;
}

 线性筛法

 　　线性筛法就是O(N)筛质数了，观察Eratosthenes筛法可以发现依旧有很多数被多个质数筛除，为了进一步优化时间复杂度，我们可以让每一个合数都被它最小的质因子筛去，就可以实现O(n)解决。具体怎么做呢？我们维护一个从小到大的质数序列，对于正在扫描的这个数，我们可以进行分类：

　　1、这个数是质数，因为我们扫描的顺序是从小到大的，所以这个质数必定大于所有已知质数，那我们就可以将这个数与质数序列中的每一个质数相乘的到合数，并筛去这个合数。

　　2、这个数是合数，我们就可以扫描质数序列，如果扫描到第一个质数满足这个合数是它的倍数，那么这个质数就是它的最小质因子

　　根据上面的分类我们可以得到线性筛的CODE：

 

    int n=100;
    
    for(int i=2; i<=n; i++) {
            if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
        
            for (int j=1; j<=tot; j++) {
                if(n/i<prime[j]) break; //保证不越界
                vis[prime[j]*i] = 1;
                if(i%prime[j]==0) break;
            }
        }

用途：线性筛可以用来求积性函数（暂时只知道这个）。

这里暂且就以phi为例，即φ函数，性质如下

欧拉函数：小于n且与n互素的数个数，记为φ(n)

φ(prime) = prime - 1

先贴上板子

    int n=100;
    
    for(int i=2; i<=n; i++) {
            if(!vis[i]) {
            prime[++tot]=i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        
            for (int j=1; j<=tot; j++) {
                if(n/i<prime[j]) break; //保证不越界
                vis[prime[j]*i] = 1;
                if (i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            }
        }