电子电路学

《电路》(邱关源 第6版) 全课程精讲

本笔记严格按照邱关源《电路》第六版章节目录组织：每章对应教材一章，每个小节对应教材一节（如 1-1、1-2…），逐节讲透。覆盖全书 18 章全部考点，并补充"这一节解决什么问题、考试怎么考"。

阅读建议：先看「全书主线」建立全局观，再按章顺序精读；每节末尾的 ▸ 考点 是期末/考研高频点。

一、全书主线（先抓住这一张图，整门课就通了）

电路分析本质上只做一件事：解方程。而方程只有两个来源——

  1. 拓扑约束：KCL（结点电流代数和=0）、KVL（回路电压代数和=0）
  2. 元件约束 VCR：每个元件上的电压-电流关系

全部课程就是按"这方程好不好解"展开：

  • 电阻电路 → 代数方程（第1-5章：教你三种解法 + 化简技巧 + 定理捷径）
  • 加电容电感 → 微分方程，难解（第6-7章硬啃，一阶用三要素、二阶解特征方程）
  • 正弦激励 → 相量法把微积分变复数代数，又变简单了（第8-9章）
  • 非正弦 → 傅里叶拆成无数正弦，每个再用相量法（第13章）
  • 任意波形 → 拉普拉斯变换，微分方程变 s 域代数方程，通吃一切（第14章）
  • 规模化 → 矩阵形式交给计算机（第15章）、黑箱抽象（第16章）、非线性近似（第17章）、分布参数（第18章）

一句话：全课程 = 用越来越聪明的工具，解同一组 KCL + KVL + VCR 方程。

二、全书大纲（对应教材 18 章）

模块 章节 内容
基础 第1章 电路模型和电路定律（参考方向、元件、KCL/KVL）
静态电路 第2-5章 等效变换 / 一般分析 / 电路定理 / 运放电路
动态电路 第6-7章 储能元件 / 一阶·二阶时域分析
正弦稳态 第8-11章 相量法 / 正弦稳态分析 / 耦合电感 / 频率响应
工程拓展 第12-14章 三相电路 / 非正弦周期 / 复频域(拉普拉斯)
高级方法 第15-18章 矩阵形式 / 二端口 / 非线性 / 均匀传输线

三、逐章逐节精讲

第1章 电路模型和电路定律

本章定位：全书宪法定立。后面 17 章没有一章脱离 KCL/KVL。你需要建立一个画面：所有电路问题 = "在 KCL/KVL 的约束下，求解各元件电压电流"。

1-1 电路和电路模型

实际电路 vs 电路模型：真实电路有导线电阻、灯泡发热、电池内阻……若按物理事实建模，方程复杂到没法解。所以第一步是理想化抽象：

  • 实际电路：由电源、负载（电阻灯泡电机等）、中间环节（导线开关）组成。
  • 电路模型：用理想元件及其连接构成的抽象。分析前必须先画模型图，这是所有计算的前提。

实际电路与电路模型对比图：

graph LR subgraph 实际电路 A[电池 1.5V] ---|导线| B[灯泡] A -.->|内阻≈0.5Ω| B end subgraph 电路模型 C[理想电压源 Us] --- D[内阻 Rs] D --- E[负载电阻 R] end

理想元件的五大积木（教材的元件库，本课程全部由这 5 种拼成）：

元件 符号要素 性质 何时细讲
电阻 R 只耗能 欧姆定律 u=Ri 本章
电容 C 储电场能 电压记忆器 第6章
电感 L 储磁场能 电流记忆器 第6章
电压源 强制输出电压 电流由外电路决定 本章
电流源 强制输出电流 电压由外电路决定 本章

集总参数假设：元件尺寸远小于电路工作波长时，可把电场磁场看成"集中在元件内部"，电流电压只随时间变、不随位置变。这个假设是全课程的适用前提（到第18章均匀传输线才放开）。

1-2 电流和电压的参考方向

这是新手第一道坎，也是几乎所有计算错误的来源。

  • 真实方向：电流 = 正电荷运动方向；电压 = 从高电位指向低电位。但实际电路里你根本不知道谁高谁低。
  • 参考方向：先随便设一个方向，标注在电路图上。设了之后，代入公式算出来是正 → 实际方向与参考一致；是负 → 实际方向相反。
  • 关联参考方向：电流从电压的正端流入（即 u 和 i 在元件上同进同出）→ 称为关联方向。这是后面所有公式符号判断的基准。

参考方向示意图：

graph LR subgraph 关联参考方向 A["+ u -"] -->|i 流入正端| B[R] end subgraph 非关联参考方向 C["+ u -"] -->|i 流出正端| D[R] end
  • 关联方向：p = ui 表示吸收功率
  • 非关联方向：p = -ui 表示吸收功率（或 p = ui 表示释放功率）

▸ 考点：给任意支路标参考方向，判断 u、i 是否关联；算功率时正负号全由关联与否决定（见 1-3）。

1-3 电功率和能量

关键规则（算功率的命根子）：

  • 关联参考方向下：\(p = ui\) 表示吸收功率，为正即元件在耗能（负载）；
  • 非关联下：\(p = ui\) 表示释放功率（或写成 \(p = -ui\) 吸收）。

推论：

  • 正功 = 该元件此刻是"负载"；负功 = 是"电源"。
  • 全书任何时刻都满足：电源发出的功率 = 负载吸收的功率（功率守恒，能量守恒的电路体现）。
  • 能量 \(W = \int p\,dt\)。判断"元件是电源还是负载"永远靠 \(p\) 的符号，而不是看它长得像什么。

▸ 考点：给定电路计算功率并判断元件角色；多源电路核对总功率守恒（检查计算错误的利器）。

1-4 电阻元件

  • 欧姆定律：关联方向下 \(u = Ri\)，\(R\) 是电阻（单位 Ω）。非关联时写 \(u = -Ri\)。
  • 电导 \(G = 1/R\)（单位 S，西门子），欧姆定律写 \(i = Gu\)。
  • 电阻耗能：\(p = ui = i^2R = u^2/R \ge 0\)——电阻只吸收不发出，是无源元件。
  • 线性电阻：u-i 曲线是过原点的直线，\(R\) 为常数；非线性电阻曲线是弯的（第17章讲）。
  • 短路/开路：\(R=0\) 短路（u=0），\(R=\infty\) 开路（i=0）——后面"独立源置零"就是让电压源短路、电流源开路。

电阻元件符号与 u-i 特性：

graph LR A["──/\\/\\── R"] --> B["u = Ri（线性电阻）"] B --> C["u-i 曲线过原点的直线"]
类型 u-i关系 曲线特征
线性电阻 u = Ri 过原点的直线
非线性电阻 u = f(i) 曲线（如二极管、灯泡）

1-5 电压源和电流源

  • 理想电压源：两端电压恒定（或按给定函数变化），与电流无关；电流大小由外电路决定。外电路变，电流跟着变。
  • 理想电流源：输出电流恒定，电压由外电路决定。
  • 受迫关系（别搞反）：电压源"管住电压、不管电流"；电流源"管住电流、不管电压"。
  • 两个理想电压源不能直接并联（电压不一致会矛盾），两个理想电流源不能直接串联——违反时电路方程无解，考试爱考判断题。

电压源和电流源符号及外特性：

graph LR subgraph 理想电压源 A["──┤ Us ├──"] -->|u = Us（恒定）| B["外特性：水平线"] end subgraph 理想电流源 C["──┤ Is ├──"] -->|i = Is（恒定）| D["外特性：垂直线"] end
源类型 约束 特点
电压源 u = Us（恒定） 电流由外电路决定
电流源 i = Is（恒定） 电压由外电路决定

1-6 受控电源（压控/流控四兄弟）

受控源是"别人说了算"的电源：输出电压/电流 = 电路中某处电压/电流 × 系数。共四种：

名称 缩写 控制量 输出量
电压控制电压源 VCVS 电压 电压
电流控制电压源 CCVS 电流 电压
电压控制电流源 VCCS 电压 电流
电流控制电流源 CCCS 电流 电流

四种受控源符号：

graph TB subgraph VCVS[电压控制电压源] A["U₂ = μU₁"] end subgraph CCVS[电流控制电压源] B["U₂ = rI₁"] end subgraph VCCS[电压控制电流源] C["I₂ = gU₁"] end subgraph CCCS[电流控制电流源] D["I₂ = βI₁"] end

两条铁律（后面反复用）：

  1. 受控源不能置零——叠加定理、戴维南、求等效电阻时，受控源永远留在电路里，只有独立源才置零；
  2. 受控源不是独立源，不含能量来源，本身不发出功率（能量由外部电路提供）。运放、三极管模型本质都是受控源（第5、17章）。

▸ 考点：判断受控源类型；含受控源电路的功率/等效分析（受控源会像"隐形电阻"改变等效阻值）。

1-7 基尔霍夫定律（KCL、KVL）

电路分析的一切都从这里长出来。

  • KCL（电流定律）：流入结点的电流之和 = 流出之和，即结点上 \(\sum i = 0\)（规定流入为正、流出为负）。物理本质是电荷守恒——结点不储存电荷，来多少走多少。它只跟"接线方式"有关，与元件类型无关。
  • KVL（电压定律）：沿任一闭合回路走一圈，\(\sum u = 0\)（电压升=电压降）。物理本质是能量守恒——电荷绕一圈回到原处，势能必须还原。

KCL 和 KVL 示意图：

graph TB subgraph KCL["KCL（基尔霍夫电流定律）"] direction TB N["结点"] -->|i₁ 流入| N N -->|i₂ 流入| N N -->|i₃ 流出| N N -->|i₄ 流出| N end subgraph KVL["KVL（基尔霍夫电压定律）"] direction LR S["Us"] --> R1["R₁"] R1 --> R2["R₂"] R2 --> S end
  • KCL：流入结点电流之和 = 流出之和，即 \(\sum i = 0\)
  • KVL：沿闭合回路走一圈，\(\sum u = 0\)

使用口诀：

  • 列 KCL 前先标好各支路电流参考方向；
  • 列 KVL 前先选好绕行方向，与绕行方向同向的电压取正、反向取负；
  • KCL 用于结点，KVL 用于回路，两个定律 + VCR 三个方程组一起才能解出未知量（这就是第3章"支路法"的原理）。

▸ 考点：已知部分支路用 KCL/KVL 反推未知支路（1-2 考点延伸）；判断独立方程数（第3章细讲）。任何题第一步永远是：标参考方向。

第2章 电阻电路的等效变换

本章定位：第1章的 KCL/KVL 方程一定能解，但方程太多。本章学化简电路的技巧——把一个复杂子电路整体换成更简单的，让"外部看过去"完全一样。这一章给第4章铺路：戴维南等效的本质就是"把整个源侧网络缩成一个电压源+一个电阻"。

2-1 引言 / 电路的等效变换

  • 等效的定义（很严格）：两个电路，若它们在对外端口上的电压电流关系完全相同，则它们等效。只看外部行为，不看内部结构。
  • 由此立刻得到一个纪律：等效后，内部各支路的电压电流会被改掉，不能拿等效后的电路去算内部量——这是考概念时的经典陷阱。
  • 等效变换的目标：减少元件数、简化结构，让外部计算变简单。

2-2 电阻的串联和并联

串联（一条线走到底，电流相同）：

  • 等效电阻 \(R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_k\)；
  • 分压公式：\(U_k = \dfrac{R_k}{R_{总}} \cdot U\)——谁电阻大谁分压多。

并联（同一对结点之间接多支，电压相同）：

  • 等效电导相加：\(G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots\)，即 \(\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1}+\cdots+\dfrac{1}{R_k}\)；
  • 分流公式：\(I_k = \dfrac{G_k}{G_{总}}\cdot I = \dfrac{R_{总}}{R_k}\cdot I\)——谁电阻小谁分流的电流大。

两个常用特例：

  • 两电阻并联：\(R_{eq} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\)（上积下和）；
  • 两电阻串联分压：\(U_1 = \dfrac{R_1}{R_1+R_2}U\)。

串并联要会"看结构"：同一个结点处做 3 线分支就是并联，一条线走到底就是串联。方块图里把电阻接线拉直、找等电位点，是基本功。等电位点（无电阻直接相连）可以合并成一个点。

串联和并联电路图：

graph LR subgraph 串联["电阻串联"] direction LR A["──/\\/\\──"] --> B["──/\\/\\──"] A ---|"R₁"| A B ---|"R₂"| B end subgraph 并联["电阻并联"] direction TB C["──┬──"] --> D["──/\\/\\── R₁"] C --> E["──/\\/\\── R₂"] end
连接方式 等效电阻 电压/电流关系
串联 Req = R₁ + R₂ 电流相同，分压：U₁ = R₁/(R₁+R₂)·U
并联 1/Req = 1/R₁ + 1/R₂ 电压相同，分流：I₁ = R₂/(R₁+R₂)·I

2-3 电阻的 Y 形连接和 Δ 形连接的等效变换

什么时候用：三电阻接成三角形（Δ）或星形（Y），又没法用串并联化简——典型是桥式电路。

转换公式（三电阻分别记为 \(R_1,R_2,R_3\)）：

  • Δ→Y：Y 边的电阻 = 相邻两 Δ 边的乘积 / Δ 三边之和。即

    \[R_{Y1} = \frac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}} \]

    下标对应：Y 中与 Δ 边 \(R_{12},R_{31}\) 都相连的那个结点对应的电阻。
  • Y→Δ：Δ 边的电阻 = 对边以外的两两乘积之和 / 对边电阻。即

    \[R_{12} = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3} \]

记忆技巧：Y→Δ 把电阻"变大"（约乘 3 倍量级），Δ→Y 把电阻"变小"。三个都相等时最简单：\(R_Y = \dfrac{1}{3}R_\Delta\)，\(R_\Delta = 3R_Y\)（对称情形直接背）。

桥式电路化简是常考点：识别出桥的 Y 或 Δ 结构 → 变换 → 变成普通串并联 → 再算。

Y-Δ 变换示意图：

graph LR subgraph Y["Y 形连接（星形）"] direction TB A["R₁"] --- C["中心点"] B["R₂"] --- C C --- D["R₃"] end subgraph Delta["Δ 形连接（三角形）"] direction LR E["R₁₂"] --- F["R₂₃"] F --- G["R₃₁"] G --- E end
变换方向 公式 对称情况
Δ→Y R_Y = 相邻两Δ边乘积 / Δ三边之和 R_Y = R_Δ/3
Y→Δ R_Δ = 两两乘积之和 / 对边电阻 R_Δ = 3R_Y

2-4 电压源、电流源的串联和并联

  • 电压源串联：等效为一个大电压源，电压代数和（注意方向）。
  • 电流源并联：等效为一个大电流源，电流代数和。
  • 电压源并联：仅当两源电压相等（且同极性）才等效为一个；不等则矛盾、无解。
  • 电流源串联：仅当两源电流相等才等效为一个；不等则矛盾。

与电阻的组合规律：

  • 理想电压源并联任何元件（电阻/电流源），对外仍等效为该电压源（电压被强制住，并联元件只影响电源内部电流，不影响端口电压）；
  • 理想电流源串联任何元件，对外仍等效为该电流源。

2-5 实际电源的两种模型及其等效变换

实际电源 = 理想源 + 内阻：

  • 电压源模型：理想电压源 \(U_s\) 串联内阻 \(R_s\)；
  • 电流源模型：理想电流源 \(I_s\) 并联内阻 \(R_s\)。

两种模型互换（极常用）：

\[I_s = \frac{U_s}{R_s}, \qquad U_s = R_s I_s, \qquad R_s \text{ 不变} \]

三个铁律：

  1. 理想电压源不能直接变理想电流源——因为没有内阻，变换式分母为零。必须带电阻才能换；
  2. 变换时源的方向要符合"电流从电压源正极流出"；
  3. 内阻 \(R_s\) 的位置（串联/并联）与值在变换中保持不变。

用法：把电路里所有电压源都换成电流源（或反之），再用 2-4 的并/串联合并，一大串电路就塌缩成一个源 + 一个电阻。

电源模型等效变换：

graph LR subgraph 电压源模型["电压源模型"] A["Us"] -->|串联 Rs| B["a"] A -->|串联 Rs| C["b"] end subgraph 电流源模型["电流源模型"] D["Is"] -->|并联 Rs| E["a"] D -->|并联 Rs| F["b"] end
模型 等效变换公式
电压源→电流源 Is = Us/Rs，Rs 保持不变（串联变并联）
电流源→电压源 Us = Is·Rs，Rs 保持不变（并联变串联）

端口 a-b 的 u-i 特性完全相同

2-6 输入电阻（等效电阻 \(R_{ab}\)）

定义：一端口网络的端口电压与端口电流之比 \(R_{in} = u/i\)。

求法（三步）：

  1. 去掉所有独立源（电压源短路、电流源开路）——这是"置零"；
  2. 在 a-b 端口加一个测试电压源 U（或测试电流源 I）；
  3. 算出端口电流 I（或端口电压 U），\(R_{in} = U/I\)。

若含受控源，不能只靠串并联——受控源像"隐形电阻"，能改变等效阻值。必须用加源法：加电压源求电流（或加电流源求电压），比值即等效电阻。这个方法和第4章戴维南求 \(R_{eq}\) 完全一致，提前掌握。

特殊情况：无受控源时，置零后直接串并联化简即可（可以不用加源，直接化简）。

输入电阻求解示意图：

graph LR subgraph 步骤1["步骤1：独立源置零"] A["网络（独立源置零）"] --- B["a"] A --- C["b"] end subgraph 步骤2["步骤2：加测试源"] D["网络（独立源置零）"] --- E["a"] E -->|"U_test"| F["b"] D -->|"I_test"| F end

输入电阻：R_in = U_test / I_test

含受控源时：必须用加源法，不能简单串并联，因为受控源像"隐形电阻"

▸ 考点：梯形电路逐步化简；含受控源求等效电阻（加源法）；电桥平衡判断（\(R_1/R_2 = R_3/R_4\) 时对角支路无电流，桥臂可断开或短路化简）。

第3章 电阻电路的一般分析

本章定位：第2章靠"技巧"化简，但有些电路化简不了。本章提供不依赖技巧、按套路走、保证能解的系统方法：选定未知量 → 列方程 → 解方程。机器都能照着做，这就是"一般分析"的含义。它是本课程真正的"主力算法"——第9章正弦稳态、第13章非正弦、第14章拉普拉斯全部沿用这套流程，只是数从实数变复数、变算子。

3-1 电路的图

  • 把电路抽象成图：支路 = 边，结点 = 顶点。
  • 图论工具：连通图、有向图、树（连接所有结点且无回路的支路集合）、树支/连支。
  • 概念准备：网孔（平面图中不再含支路的最小回路）、基本回路（只含一个连支的回路）、基本割集。这些为确定"独立方程数"和后面第15章矩阵方法打基础。

电路图的抽象表示：

graph TB subgraph 原始电路 A["Us"] --> B["R₁"] A --> C["R₂"] B --> D["R₃"] C --> D end subgraph 抽象图["抽象图（有向图）"] direction LR 1["①"] -->|支路1| 2["②"] 2 -->|支路2| 3["③"] 1 -->|支路4| 4["④"] 4 -->|支路5| 5["⑤"] 5 -->|支路6| 6["⑥"] end
  • 结点：①②③④⑤⑥（6个结点）
  • 支路：6条有向边
  • 树：连接所有结点但无回路的支路组

3-2 KCL 和 KVL 的独立方程数

这决定你要列多少个方程——数不对，永远解不出。

  • KCL 独立方程数 = n − 1（n 为结点数）。任意取一个结点做参考，其余 n−1 个结点的 KCL 方程独立（第 n 个是前 n−1 个的线性组合）。
  • KVL 独立方程数 = b − (n−1)（b 为支路数），等于连支数（基本回路数）。网孔数 = 连支数（对平面图）。
  • 总方程数 = (n−1) + [b−(n−1)] = b，正好等于未知支路电流数 → 方程组封闭可解。

直观理解：一个电路有 b 条支路就有 b 个未知电流；需要 b 个独立方程。KCL 给 n−1 个，KVL 补 b−n+1 个。

3-3 支路电流法（原始版）

  • 未知量：每条支路的电流。共 b 个。
  • 列法：(n−1) 个 KCL + [b−(n−1)] 个 KVL。
  • 每个 KVL 方程里的支路电压用"支路电流 × 电阻 ± 电源电压"代入（结合 VCR）。
  • 缺点：方程太多，一般不直接用，但它是理解后面方法的地基——后面的方法本质都是"减少方程数"。

3-4 网孔电流法（KVL 版）

  • 洞察：KCL 已经自动被"网孔电流"满足——每个结点上流过的相邻网孔电流一进一出正好抵消。于是只剩下 KVL，方程数立刻少掉 (n−1) 个。
  • 未知量：每个网孔一个假想的"环流"（实际支路电流 = 相邻网孔电流的代数和）。
  • 方程模板（每网孔一条 KVL）：

    \[\text{自阻}\times\text{本网孔电流} - \sum(\text{互阻}\times\text{相邻网孔电流}) = \text{本网孔电压源升之和} \]

  • 只在平面电路（能画在纸上不相交）里用；非平面电路用回路法（选树的连支做基本回路，本质相同，只是回路选取更自由）。

网孔电流法示意图：

graph TB subgraph 网孔1["网孔1"] direction TB A["Us"] --> B["R₁"] B --> C["R₂"] C --> A end subgraph 网孔2["网孔2"] direction TB D["R₂"] --> E["R₃"] E --> F["R₄"] F --> D end

网孔方程：

  • 网孔1：(R₁+R₂)i₁ - R₂i₂ = Us
  • 网孔2：-R₂i₁ + (R₂+R₃+R₄)i₂ = 0

实际支路电流：i_R₁ = i₁, i_R₂ = i₁ - i₂, i_R₃ = i₂, i_R₄ = i₂

3-5 回路电流法

  • 网孔电流法的推广：不要求回路是网孔，只要选 b−(n−1) 个独立回路（常取"树 + 一个连支"构成的基本回路）即可。
  • 方程形式与网孔法完全一样：自阻×本回路电流 − 互阻×相邻回路电流 = 回路内电压源升之和。
  • 优势：含理想电流源支路时，让该支路成为唯一连支（只属于一个回路），该回路电流直接等于电流源值，少列一个方程。

3-6 结点电压法（KCL 版，全书最常用）

这是第3章的主角，也是整本书用得最多的方法。

  • 洞察：KVL 自动被满足——结点电压本身就是电位差，沿任意回路求和必为零。于是只需列 KCL。
  • 做法：
    1. 取一个参考结点（地，0V）；
    2. 其余 n−1 个结点的电压为未知量；
    3. 每个结点列一条 KCL：自导纳×u_self − Σ（互导纳）×u_neighbor = 流入该结点的电流源之和：

      \[G_{jj}u_j - \sum_{k\neq j} G_{jk}u_k = \sum i_{sj} \]

    4. 解线性方程组。

什么时候用：结点少、支路多、含理想电压源时最省事。

含电压源的处理技巧（必考）：

  • 理想电压源接在结点与地之间 → 该结点电压直接等于源电压，免掉一个未知量；
  • 理想电压源接在两个普通结点之间 → 把它当电流源增设一个电流变量，或引入超结点（把两结点合并成一个广义结点列 KCL，附加方程 \(u_a - u_b = U_s\)）。

含受控源：先把它当独立源写方程，再加一条"控制量与结点电压的关系"方程消掉。

结点电压法示意图：

graph TB subgraph 电路["原始电路"] A["Us"] --> B["R₁"] B --> C["结点①"] C --> D["R₂"] D --> E["结点②"] E --> F["R₃"] F --> G["地（参考结点）"] end

列KCL方程：

  • 结点①：(1/R₁+1/R₂)u₁ - (1/R₂)u₂ = Us/R₁
  • 结点②：-(1/R₂)u₁ + (1/R₂+1/R₃+1/R₄)u₂ = 0

解出u₁、u₂后，各支路电流 = (u_i - u_j)/R

▸ 考点流程（考试按这个走）：①数结点、定参考点 → ②设结点电压变量 → ③逐结点列 KCL，把支路电流都用结点电压差除以电阻表示 → ④解线性方程组。

▸ 对计算机系学生：本章本质是"用消元法解线性方程组"，第15章就是把它矩阵化、交给计算机。

第4章 电路定理

本章定位：第3章是"按流程硬算"，本章是"找捷径"。电路定理告诉你：在某些条件下，一个复杂电路可以用一个小得多的等效电路代替，或者把多源问题拆成单源问题。 这是全书含金量最高的解题章节——第7章三要素法、第9章正弦稳态最大功率、第14章运算电路，全都要先做戴维南等效。

4-1 叠加定理

  • 内容：线性电路中，所有独立源共同作用 = 每个源单独作用效果的代数和。
  • 做法：每次只留一个源，其余独立源置零（电压源短路、电流源开路），求出该源的分量，最后相加。
  • 三条铁律（必考）：
    1. 功率不能叠加——功率是电压×电流，是二次量，不是线性的；
    2. 受控源不能置零，永远留在电路里；
    3. 置零的是"独立源"，别把受控源也删了。
  • 意义：把"多个源"的问题拆成"一个源"的问题，一劳永逸地简化。线性性是前提：只有线性电路适用。

4-2 替代定理

  • 内容：任何一条支路，只要它的 u 和 i 已知，就可以用"大小为 u 的电压源"或"大小为 i 的电流源"替代，电路其余部分不受影响（前提：替代前后的解唯一）。
  • 意义：很少单独考，但它是后面很多定理证明的桥梁（如戴维南证明的钥匙），了解即可。

4-3 戴维南定理和诺顿定理（全书最重要的两个定理）

内容：任何有源线性二端网络，对外部而言等效于：

  • 戴维南：一个电压源 \(U_{oc}\)（开路电压）串联一个电阻 \(R_{eq}\)；
  • 诺顿：一个电流源 \(I_{sc}\)（短路电流）并联一个电阻 \(R_{eq}\)。

二者互为等效互换（按 2-5 的源变换）：

\[I_{sc} = \frac{U_{oc}}{R_{eq}} \]

三步法（解题流程，必须背）：

  1. 把负载（或你想求的那条支路）断开，求端口开路电压 \(U_{oc}\)；
  2. 独立源置零（电压源短路、电流源开路，受控源保留），求端口等效电阻 \(R_{eq}\)（无受控源可直接串并联化简；含受控源用加源法：端口加电压源 U、算电流 I，\(R = U/I\)；也可用短路法 \(R_{eq} = U_{oc}/I_{sc}\)）；
  3. 画等效电路，接回负载，问题变成"一个源串一个电阻"的简单题。

为什么强：它把"复杂网络"这个黑箱，永远压缩成两个参数。第5章运放、第14章运算电路、第16章二端口，全在用这个思路。

戴维南和诺顿等效电路图：

graph TB subgraph 原始网络["原始复杂网络"] A["有源线性二端网络"] --- B["a"] A --- C["b"] end subgraph 戴维南["戴维南等效"] D["Uoc"] -->|串联 Req| E["a"] D -->|串联 Req| F["b"] end subgraph 诺顿["诺顿等效"] G["Isc"] -->|并联 Req| H["a"] G -->|并联 Req| I["b"] end

三步法：

  1. 断开负载求 Uoc：开路时 a-b 端口电压
  2. 独立源置零求 Req：从 a-b 看进去的等效电阻
  3. 画等效电路：接回负载，问题变简单

Uoc = Isc·Req

▸ 考点：求某支路电流/电压——断开支路 → 戴维南等效 → 一次解决（比列方程组快得多）；含受控源的戴维南（先保留受控源算 \(U_{oc}\)，再置零独立源加源法求 \(R_{eq}\)）。

4-4 最大功率传输定理

  • 内容：负载电阻 = 源侧等效内阻（\(R_L = R_{eq}\)）时，负载获得最大功率：

    \[P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}} \]

  • 推导直觉：\(P = I^2R_L = \left(\dfrac{U_{oc}}{R_{eq}+R_L}\right)^2 R_L\)，对 \(R_L\) 求导取零得 \(R_L = R_{eq}\)。
  • 一个常见坑（概念题爱考）：\(R_L \neq R_{eq}\) 时传的不是最大功率，但效率可能更高——最大功率 ≠ 最大效率。\(R_L = R_{eq}\) 时效率只有 50%，\(R_L\) 越大效率越高。

最大功率传输示意图：

graph LR A["Uoc"] -->|串联 Req| B["RL"]

负载功率：P = (Uoc/(Req+RL))² · RL

RL 值 功率 效率
RL = Req P_max = Uoc²/(4Req) 50%
RL > Req 功率下降 效率提高
RL < Req 功率下降 效率降低

最大功率 ≠ 最大效率

4-5 特勒根定理

  • 内容：对任何电路，所有支路的功率代数和恒为零：\(\sum_{k} u_k i_k = 0\)（每个支路用关联方向）。
  • 拟功率定理形式：两个不同的电路若拓扑相同，则一个电路的电压 × 另一个电路的电流，总和也为零。
  • 意义：是功率守恒的一般形式，也是电路理论的基础定理。证明其他定理、分析灵敏度时用，考试要求通常较低，了解即可。

4-6 互易定理

  • 内容：线性不含受控源、仅含一个独立源的电路，若把激励（电压源/电流源）移到另一支路，响应（电流/电压）与激励互换位置，则响应与激励的关系保持不变。
  • 形式：①电压源激励、电流响应；②电流源激励、电压响应；③混合形式。本质：线性无源网络的"双向对称性"。
  • 意义：验证网络对称性、简化某些多端口问题。考试一般要求不高，知道"激励响应互换结果不变"即可。

4-7 对偶原理

  • 内容：电路方程具有对偶性——把某些量互换，方程形式不变。对偶量：电压↔电流、电阻↔电导、串联↔并联、KVL↔KCL、开路↔短路、戴维南↔诺顿……
  • 意义：由已知电路的性质可直接"翻译"出对偶电路的性质，事半功倍。例如：知道串联谐振的性质，立刻得到并联谐振的对应结论（第9、11章用得上）。

▸ 考点总结（本章考分大头）：戴维南/诺顿三步法、最大功率、叠加（功率不能叠加）、含受控源的各种处理。它是那个"永远把复杂问题变简单"的开关。

第5章 含有运算放大器的电阻电路

本章定位：第一次遇到"有源器件"。运放是一个放大器：输出等于放大倍数乘以两个输入之差。本章学的是：把运放当黑箱，只用它的端口特性（VCR）去列电路方程。它是从"电路"走向"模拟电子技术"的第一座桥。

5-1 运算放大器的电路模型

符号与特性：

  • 两个输入：\(U_+\)（同相端）、\(U_-\)（反相端），一个输出 \(U_0\)；
  • 端口特性：\(U_0 = A(U_+ - U_-)\)，\(A\) 是开环放大倍数（极大，理想为无穷大）；
  • 实际运放还有：输入阻抗极高、输出阻抗极低、带宽有限——本章全部理想化。

等效电路模型：输入端是阻值很大的输入电阻（理想为无穷大），输出端是一个受控电压源 \(A(U_+-U_-)\) 串一个很小的输出电阻（理想为 0）。这正是第1章受控源的实际应用。

运放符号和等效电路：

graph TB subgraph 运放符号["运放电路符号"] A["U+"] --> B["▷"] C["U-"] --> B B --> D["Uo"] end subgraph 等效电路["理想运放等效电路"] E["U+"] --> F["Rin→∞"] G["U-"] --> F F --> H["A(U+-U-)"] H --> I["Rout→0"] I --> J["Uo"] end

端口特性：Uo = A(U+ - U-)，A → ∞（理想）

理想运放特性：

  • 输入阻抗 Rin → ∞
  • 输出阻抗 Rout → 0

5-2 比例电路的分析（从理想模型推出增益）

理想运放的两条黄金法则（所有题的钥匙）：

  1. 虚短：\(U_+ = U_-\)。因为 \(A\to\infty\)，而输出电压有限，所以 \((U_+-U_-) = U_0/A \to 0\)。注意"虚"字：电压相等，但不是真的短路（它们之间没有电流流过）。
  2. 虚断：\(i_+ = i_- = 0\)。因为输入阻抗 \(\to\infty\)，输入端吸不进电流。

任何含理想运放的题，永远是这两条开局。 然后列 KCL，求输出。

三种基本运放电路（必背）：

  • 反相比例：\(U_0 = -\dfrac{R_f}{R_1}U_i\)。输入接反相端。负号代表反相。
  • 同相比例：\(U_0 = \left(1+\dfrac{R_f}{R_1}\right)U_i\)。增益 ≥1，永不为负。
  • 跟随器：同相比例里 \(R_f=0\) 的特例，\(U_0=U_i\)，用于阻抗隔离（缓冲）。

三种基本运放电路图：

graph TB subgraph 反相比例["反相比例放大器"] A["Ui"] -->|R₁| B["反相端"] B --> C["▷"] C --> D["Uo"] D -->|Rf| B end subgraph 同相比例["同相比例放大器"] E["Ui"] --> F["同相端"] F --> G["▷"] G --> H["Uo"] H -->|Rf| I["反相端"] I -->|R₁| J["地"] end
电路类型 增益公式 特点
反相比例 Uo = -(Rf/R₁)·Ui 负号代表反相
同相比例 Uo = (1+Rf/R₁)·Ui 增益 ≥1
跟随器 Uo = Ui Rf=0 的特例

5-3 含有理想运算放大器的电路的分析

通用分析流程：

  1. 写出虚短（\(U_+=U_-\)）和虚断（\(i_+=i_-=0\)）两个条件；
  2. 对输入相关结点列 KCL，把支路电流用结点电压差/电阻表示；
  3. 解出输出与输入的关系（一般是比例关系）。

常见扩展电路（会推导即可，不必死背）：

  • 加法器：多个输入经不同电阻接反相端，\(U_0 = -\left(\dfrac{R_f}{R_1}U_1 + \dfrac{R_f}{R_2}U_2 + \cdots\right)\)——按比例叠加再反相；
  • 减法器：一个同相一个反相输入，\(U_0 \propto (U_2-U_1)\)；
  • 积分/微分器：反馈电阻换成电容 → \(U_0 \propto \int U_i dt\)（运算电路，第14章复频域再做严格分析）。

▸ 对计算机系学生：运放是 ADC、比较器、放大器、滤波器的构成基础，这章让你真正"看懂"芯片级的模拟部分。为什么运放能实现加、减、比例、积分、微分？因为它本身是"受控源"，有增益。

第6章 储能元件

本章定位：前 5 章全是电阻（瞬间响应，无记忆）。本章引入两个"会记性"的元件：电容和电感。它们是第7章（动态电路）的原料，本身内容不多但概念极关键。记住一句咒语："C 守电压，L 守电流"。

6-1 电容元件

  • 定义：\(C = q/u\)（法拉 F），电压恒定时存储电荷。
  • 核心方程（VCR）：

    \[i = C\frac{du}{dt} \]

    电流与电压的变化率成正比，而不是与电压本身成正比——这是电容和电阻的本质区别。
  • 重要推论：电容电压不能突变——若 \(du/dt\) 无穷大，电流就无穷大，物理上不允许。因此电容电压是"连续量"，换路瞬间不跳变：\(u_C(0^+) = u_C(0^-)\)。这是第7章求初始条件的依据。
  • 储能：\(W = \frac{1}{2}Cu^2\)。电容像"电压记忆器"。
  • 直流时：\(u\) 恒定 → \(du/dt = 0\) → \(i = 0\) → 开路。

电容元件符号和特性：

graph TB A["──┬──┬──"] --> B["电容 C"] B --> C["i = C·du/dt"]

重要特性：

  1. 电压不能突变：uC(0+) = uC(0-)
  2. 直流时开路：i = 0
  3. 储能：W = ½Cu²
特性 说明
约束关系 i = C·du/dt
不能突变的量 电压 u
直流时 开路（i=0）
储能 ½Cu²
记忆的物理量 电压（电场）

6-2 电感元件

  • 定义：\(\psi = Li\)（磁链，亨 H），磁场储能。
  • 核心方程（VCR）：

    \[u = L\frac{di}{dt} \]

    电压与电流的变化率成正比。
  • 重要推论：电感电流不能突变——若 \(di/dt\) 无穷大，电压无穷大。因此电感电流连续：\(i_L(0^+) = i_L(0^-)\)。
  • 储能：\(W = \frac{1}{2}Li^2\)。电感像"电流记忆器"。
  • 直流时：\(i\) 恒定 → \(di/dt = 0\) → \(u = 0\) → 短路。

电感元件符号和特性：

graph TB A["──/\\/\\──"] --> B["电感 L"] B --> C["u = L·di/dt"]

重要特性：

  1. 电流不能突变：iL(0+) = iL(0-)
  2. 直流时短路：u = 0
  3. 储能：W = ½Li²
特性 说明
约束关系 u = L·di/dt
不能突变的量 电流 i
直流时 短路（u=0）
储能 ½Li²
记忆的物理量 电流（磁场）

6-3 电容、电感元件的串联与并联

  • 电容：串联 \(\dfrac{1}{C_{eq}} = \sum\dfrac{1}{C_k}\)（和电阻并联同形）；并联 \(C_{eq} = \sum C_k\)。
  • 电感：正好相反——串联相加 \(L_{eq} = \sum L_k\)；并联取倒数之和的倒数（和电阻一样）。
  • 注意：别把电容当电阻记——电容"反着"来，电感"顺着"来（电感与电阻同规律）。

一组对照表（这样记不混）：

元件 约束关系 不能突变的量 直流时 储能 记忆的物理量
电容 C \(i = C\frac{du}{dt}\) 电压 u 开路（i=0） \(\frac12Cu^2\) 电压（电场）
电感 L \(u = L\frac{di}{dt}\) 电流 i 短路（u=0） \(\frac12Li^2\) 电流（磁场）

▸ 考点：判断换路瞬间哪个量连续；直流稳态电路的等效（C 开路、L 短路）；储能计算。它是"静态"和"动态"的分水岭——后面第7章的初始值、第14章的运算电路全靠"不突变"性质。

第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析

本章定位：把储能元件接进电路，方程从代数变成微分方程。本章直面它：在时域里硬解出电压电流随时间变化的完整过程。这是全书第一个真正的"难山头"，也是期末必考的重头戏（三要素法）。

7-1 动态电路的方程及其初始条件

微分方程的阶数：电路含一个储能元件 → 一阶微分方程；含两个 → 二阶（或两个一阶）。

换路定则（求初始条件的关键）：

\[u_C(0^+) = u_C(0^-), \qquad i_L(0^+) = i_L(0^-) \]

  • 电容电压不能跳变、电感电流不能跳变（理由见第6章）。
  • 除此之外的量（电阻电流、电容电流等）可以跳变，要用 0⁺ 时刻的等效电路算：
    • 电容换路瞬间相当于电压源 \(u_C(0^+)\)；
    • 电感换路瞬间相当于电流源 \(i_L(0^+)\)。

考试第一步永远是：画出 0⁻ 稳态图（C 开路、L 短路）求出初始储能 → 再画 0⁺ 图求突变值。

7-2 一阶电路的零输入响应

  • 含义：没有电源，靠电容/电感的初始储能驱动。
  • 形式：

    \[f(t) = f(0^+)\, e^{-t/\tau} \]

    纯指数衰减，初始值越大衰减越快（但不改变衰减速率，速率只由 \(\tau\) 决定）。
  • 为什么是 \(e^{-t/\tau}\)：方程是 \(\dfrac{du}{dt} + \dfrac{1}{\tau}u = 0\)，解微分方程自然得指数衰减项——电路里能量被电阻消耗、呈指数泄放的数学体现。\(\tau\) 就是"泄放多快"的特征时间。

一阶电路零输入响应：

响应类型 公式 时间常数 特征
电容放电 uC(t) = U0·e^(-t/τ) τ = RC 电压从U0指数衰减到0
电感放电 iL(t) = I0·e^(-t/τ) τ = L/R 电流从I0指数衰减到0

关键点：

  • 初始值越大衰减越快（但不改变衰减速率，速率只由 τ 决定）
  • τ 越大，衰减越慢
  • 物理本质：能量被电阻消耗、呈指数泄放

7-3 一阶电路的零状态响应

  • 含义：无初始储能，靠外部电源驱动。
  • 形式：

    \[f(t) = f(\infty)\, (1 - e^{-t/\tau}) \]

    从 0 指数爬向稳态值 \(f(\infty)\)。
  • 电容充电、电感充电（电流建立）都是典型。

7-4 一阶电路的全响应

  • 含义：既有初始储能、又有外部电源。
  • 分解：全响应 = 零输入 + 零状态（叠加定理照样成立，因为方程是线性的）。
  • 三要素法（一阶电路的万能公式，考试命根子）：

    \[f(t) = f(\infty) + [f(0^+) - f(\infty)]\,e^{-t/\tau} \]

    只需找三个量：
    1. \(f(0^+)\)（初始值）：用换路定则 + 0⁺ 等效电路求；
    2. \(f(\infty)\)（稳态值）：\(t\to\infty\) 时 C 开路、L 短路，按电阻电路求；
    3. \(\tau\)（时间常数）：独立源置零后，从储能元件看进去的等效电阻 \(R_{eq}\)：C 电路 \(\tau = R_{eq}C\)，L 电路 \(\tau = L/R_{eq}\)。注意：一定要把独立源置零再求 R。
  • 为什么能这样：一阶电路任意响应都满足"从初始指数跑到终值"这个形式，数学上被唯一确定 → 不需要解微分方程，背公式 + 求三个值即可。

三要素法响应：

情况 初始值与稳态值关系 响应特征
情况1 f(0+) < f(∞) 从初始值指数上升到稳态值
情况2 f(0+) > f(∞) 从初始值指数下降到稳态值
情况3 f(0+) = f(∞) 无过渡，直接保持稳态

三要素法公式：f(t) = f(∞) + [f(0+) - f(∞)]·e^(-t/τ)

▸ 考点：三要素法求任意一阶电路（80% 的动态题都是它）；画换路后的响应曲线（指数从哪爬到哪）；换路瞬间 0⁺ 等效电路的画法。

7-5 二阶电路的零输入响应

  • 标准形式：RLC 串联（或并联）。特征方程：

    \[s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0 \]

    其中 \(\alpha = \dfrac{R}{2L}\)（衰减系数）、\(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)（谐振角频率）。
  • 判别式决定三种形态（必考）：
    • 过阻尼（R 大，\(\alpha>\omega_0\)，两个不等实根）：两个指数衰减叠加，单调爬回稳态，不振荡；
    • 临界阻尼（\(\alpha=\omega_0\)，重根）：最快的"刚好不振荡"；
    • 欠阻尼（R 小，\(\alpha<\omega_0\)，共轭复根）：\(e^{-\alpha t}\) 乘以 sin/cos——衰减振荡，像弹簧振子被阻尼慢慢停下来。

二阶电路三种阻尼响应：

阻尼类型 条件 特征根 响应特征
过阻尼 α > ω₀ 两个不等实根 单调衰减，不振荡
临界阻尼 α = ω₀ 重根 最快的不振荡衰减
欠阻尼 α < ω₀ 共轭复根 衰减振荡（e^(-αt)·sin/cos）

关键参数：

  • 衰减系数：α = R/(2L)
  • 谐振角频率：ω₀ = 1/√(LC)
  • 判别式：Δ = α² - ω₀²

7-6 二阶电路的零状态响应和全响应

  • 零状态：无初始储能，靠电源驱动；全响应 = 零状态 + 零输入。
  • 求解套路：写微分方程 → 特征方程求根 → 代入初始条件（\(u_C(0^+)\) 和 \(\dfrac{du_C}{dt}(0^+)\)）定系数。注意二阶需要两个初始条件。
  • \(\dfrac{du_C}{dt}(0^+)\) 由 \(i_C(0^+) = C\dfrac{du_C}{dt}\) 求出：先算 \(i_C(0^+)\)，再除 C。

7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应

  • 单位阶跃函数 \(\varepsilon(t)\)：开关合上（0 变 1）的数学抽象。
  • 阶跃响应：输入为单位阶跃时的零状态响应。
  • 一阶阶跃响应：\(1 - e^{-t/\tau}\) 形；二阶阶跃响应：由阻尼类型决定（过阻尼单调、欠阻尼振荡爬升）。

7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应

  • 单位冲激函数 \(\delta(t)\)：极窄极强的脉冲（宽度→0，面积=1）。
  • 冲激响应：输入为单位冲激时的零状态响应。
  • 关键关系：冲激响应 = 阶跃响应对 t 的导数（因为冲激是阶跃的导数，线性系统对导数输入 = 响应的导数）。
  • 冲激响应的计算：等效于给储能元件一个"初始值跃变"（冲激瞬间给 C 冲上电压、给 L 冲上电流），再按零输入响应处理。

7-9 卷积积分（了解）

  • 内容：任意输入 \(e(t)\) 的零状态响应 = 输入与冲激响应 \(h(t)\) 的卷积：

    \[r(t) = \int_0^t e(\tau)h(t-\tau)\,d\tau \]

  • 意义：把"任意信号"分解成无穷多个冲激的叠加，每个冲激一个响应再叠加——这是线性系统的普适解法，是"信号与系统"的核心工具。本章只要求了解思想，第14章用拉普拉斯变换会把它变成简单的乘法。

▸ 考点总结：三要素法、二阶三种阻尼的判断与求响应、阶跃/冲激响应的关系（冲激 = 阶跃求导）。它让你第一次"看到"电路随时间的变化——后面所有信号处理、控制、通信的根基。

第8章 相量法

本章定位：正弦稳态下，微分方程里全是 \(du/dt\)、\(\int udt\)，解起来太痛苦。本章给你一个"懒人天才"工具：把求导变乘法、积分变除法，把微分方程变成复数代数方程。 它不改变物理，只是换了个更好算的坐标系。相量法是第8-13章的通用语言。

8-1 复数

必须熟练（接下来 6 章的运算基础），三种形式来回互转：

  • 代数形式：\(a + jb\)
  • 极坐标形式：\(r\angle\varphi\)
  • 指数形式：\(re^{j\varphi}\)

换算：\(a = r\cos\varphi\)，\(b = r\sin\varphi\)，\(r = \sqrt{a^2+b^2}\)，\(\varphi = \arctan(b/a)\)。
运算：乘除用极坐标（模相乘、角相加）；加减用代数形式。\(j = e^{j90°}\)，\(j^2 = -1\)。

8-2 正弦量

  • 正弦量三要素：幅值、角频率 \(\omega\)、初相位 \(\varphi\)。

    \[i(t) = I_m\cos(\omega t + \varphi) \]

  • 相位差：同频率两个正弦的初相之差 \((\varphi_1 - \varphi_2)\)。\(\varphi_1 - \varphi_2 > 0\) 称前者"超前"（角速度同为 \(\omega\)，领先了 \(\varphi_1-\varphi_2\) 的角度）。
  • 有效值：\(I = \dfrac{I_m}{\sqrt2}\)。交流表、额定功率全用它（有效值 = 与直流等效发热的数值）。

8-3 相量法的基础（全书最漂亮的一步）

一个正弦量 \(u(t) = U_m\cos(\omega t+\varphi)\) 可以写成复数相量 \(\dot U = U\angle\varphi\)（U 是有效值或幅值，φ 是初相）。

为什么能这么干：对同频率的正弦量做四则运算（加减乘除、求导积分）时，\(\omega t\) 部分完全一样，只有幅值和初相在变。于是我们干脆扔掉 \(e^{j\omega t}\) 这一层"外壳"，只留"复数骨架"——这就是相量。

两个关键公式（必须理解，不是背）：

\[\frac{d}{dt} \to j\omega \dot U \qquad (\text{求导} = \text{乘 } j\omega：\text{幅值乘 }\omega\text{、相位加 }90°) \]

\[\int \to \frac{\dot U}{j\omega} \qquad (\text{积分} = \text{除 } j\omega) \]

整个微分方程，被这两条公式变成了代数方程。 这就是相量法的全部秘密。

相量与正弦量的对应关系：

graph TB subgraph 时域["时域表示"] A["u(t) = Um·cos(ωt + φ)"] end subgraph 相量["相量表示（复平面）"] direction LR B["Im"] --- C["Re"] D["U = Um∠φ"] --- C E["|U| = Um"] --- D end

关键点：

  • 频率 ω 被"扔掉"了
  • 只保留幅值 |U| 和相位 φ
  • 一个复数 = 一个正弦量

8-4 电路定律的相量形式

  • KCL/KVL 照旧成立（同频率线性叠加），只是用复数相量代替瞬时值。
  • 元件约束变成"复数欧姆定律"：
    • 电阻：\(\dot U = R\dot I\)（电压电流同相）；
    • 电感：\(\dot U = j\omega L\,\dot I\)（电压超前电流 90°）；
    • 电容：\(\dot U = \dfrac{\dot I}{j\omega C}\)（电流超前电压 90°）。
  • 电感"阻止"高频（\(j\omega L\) 大），电容"放过"高频（\(1/(j\omega C)\) 小）——这句话在频率响应里反复用。

▸ 考点：正弦量 → 相量互转；求导/积分的相量表示；三个元件的相量 VCR。计算机系视角：这是第一次碰到"变换域思维"——时域里的微分方程，换到频域变成代数，整个"信号与系统"、DSP、通信原理都建立在这个思路上。

第9章 正弦稳态电路的分析

本章定位：上一章给了工具（相量），本章全面使用它：用复数方法分析任意正弦稳态电路，重点是功率的计算——因为工程上真正关心的是"这个电路耗多少电、效率多少"。这是正弦稳态的"总攻"，期末考的绝对大头。

9-1 阻抗和导纳（把 RLC 统一成"复数电阻"）

  • 阻抗 \(Z = \dot U/\dot I\)，复数，写成 \(R + jX\)：
    • \(R\)（电阻分量）：消耗有功功率；
    • \(X\)（电抗分量）：电感 \(X_L = \omega L\)、电容 \(X_C = -\dfrac{1}{\omega C}\)，不耗能但"吃"无功。
  • 三元件阻抗：\(Z_R = R\)、\(Z_L = j\omega L\)、\(Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -j\dfrac{1}{\omega C}\)。
  • 导纳 \(Y = 1/Z = G + jB\)：用于并联电路（并联用导纳相加更省事）。
  • 阻抗与导纳互转：\(Y = 1/Z\)（复倒数，别只取倒数忘了共轭）。

9-2 阻抗（导纳）的串联和并联

  • 串联：\(Z = Z_1 + Z_2 + \cdots\)（分压公式照搬，实数变复数）。
  • 并联：\(Y = Y_1 + Y_2 + \cdots\)（分流公式照搬）。
  • 关键结论：串联分压、并联分流、等效变换，全部照搬第2-3章，只是实数变复数。 这就是相量法省下的全部力气。

9-3 电路的相量图

  • 把各电压电流画在复平面上，用几何关系直接看出"超前/滞后/幅值关系"。对串并联的 L、C、R，相量图能一图定案。
  • 经典画法：串联电路以电流为基准（各电压方向不同，首尾相接成多边形）；并联电路以电压为基准（各电流方向不同）。
  • 用途：判断相位关系、求未知相量（几何法有时比代数法更快）、检查计算错误。

9-4 正弦稳态电路的分析

完全复用第2-4章的全部方法，只是把实数换成复数：

  • 结点电压法、网孔电流法（第3章）；
  • 叠加定理、戴维南/诺顿等效（第4章）——戴维南求 \(Z_{eq}\) 同样用加源法。

分析目标一般是求某个支路的电流/电压相量、或端口等效阻抗。

9-5 正弦稳态电路的功率（本章真正的重点，考分大户）

  • 瞬时功率：\(p(t) = ui\)，含 \(2\omega t\) 振荡项，不直观。
  • 有功功率 P：平均功率，\(P = UI\cos\varphi\)，单位 W。\(\cos\varphi\) 叫功率因数，\(\varphi\) 是电压电流相位差。
  • 无功功率 Q：\(Q = UI\sin\varphi\)，单位 var。不消耗能量，但反映电感电容之间来回"吞吐"的能量规模（电力系统里它挤占线路容量）。
  • 视在功率 S：\(S = UI\)，单位 VA。设备容量一般标它。
  • 功率三角形：\(P\)、\(Q\)、\(S\) 构成直角三角形，\(\tan\varphi = Q/P\)，\(S^2 = P^2 + Q^2\)。

功率三角形和功率因数：

graph LR A["P (有功功率 W)"] --- B["Q (无功功率 var)"] A --- C["S (视在功率 VA)"]
功率类型 公式 单位 说明
有功功率 P UI·cosφ W 实际做功的功率
无功功率 Q UI·sinφ var 储能元件吞吐的功率
视在功率 S UI VA 设备容量标称值

关系：S² = P² + Q²，tanφ = Q/P，cosφ = P/S（功率因数，越高越好）

功率因数的影响：cosφ 越低 → Q 越大 → 线路损耗越大

9-6 复功率

  • 复功率 \(\tilde S = P + jQ\)：把三个量一网打尽。
  • 计算：\(\tilde S = \dot U \cdot \dot I^*\)（\(\dot I^*\) 是电流相量的共轭），或 \(\tilde S = I^2 Z\)、\(\tilde S = \dfrac{U^2}{Z^*}\)。
  • 注意共轭：因为 \(P = UI\cos\varphi\)，而 \(\dot U\dot I = UI\angle\varphi\)，取共轭后虚部符号才正确。
  • 复功率守恒：电路总复功率 = 各支路复功率之和（比算瞬时功率省事得多）。

9-7 最大功率传输（相量版）

  • 负载阻抗可以任意取时：\(Z_L = Z_{eq}^*\)（共轭匹配）得最大功率；
  • 负载纯电阻时：\(R_L = |Z_{eq}|\)（模匹配）；
  • 考试常考纯电阻版：\(R_L = \sqrt{R^2 + X^2}\)。

9-8 串并联谐振（第11章的预演）

  • 串联谐振：\(\omega L = \dfrac{1}{\omega C}\)，\(Z\) 虚部为零，电路呈纯阻，电流最大。特征：电压谐振——L、C 上的电压可能是电源的 \(Q\) 倍。谐振角频率 \(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)，品质因数 \(Q = \dfrac{\omega_0 L}{R}\)。
  • 并联谐振：电流谐振，阻抗最大、电流最小。

▸ 考点总结：阻抗/导纳换算、功率（P/Q/S/复功率）、功率因数补偿、最大功率传输、谐振判断。掌握本章 = 掌握"复数电路 + 功率计算 + 最大功率 + 谐振"四大板块。

第10章 含有耦合电感的电路

本章定位：之前假设线圈互不影响。本章放开这个假设：一个线圈的电流，会通过磁场在另一个线圈上感应出电压（互感）。工程意义：变压器、无线充电、耦合电路都靠它。同时引入两个重要器件模型：空心变压器和理想变压器。

10-1 互感

  • 互感 M：耦合系数 \(k = \dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}\)（\(0\le k \le 1\)），\(k=1\) 是紧耦合（全耦合）。
  • 互感电压：

    \[u_2 = \pm M\frac{di_1}{dt} \]

    正负号由同名端决定：
    • 两个电流都从同名端流入（或都流出）→ 取正；
    • 一进一出 → 取负。
  • 同名端标记规则：同一磁通链绕组的两端中，同时进出的那一对就是同名端。它只跟绕线方向有关，跟具体画法无关。
  • 相量形式：互感电压 = \(\pm j\omega M\,\dot I_1\)——把互感当"互感阻抗 \(j\omega M\)"处理。
  • 互感储能：\(W = \frac12 L_1 i_1^2 + \frac12 L_2 i_2^2 \pm Mi_1 i_2\)（符号同样看同名端）。

互感和同名端示意图：

graph TB subgraph 耦合线圈["两个耦合线圈"] A["i₁ →"] --> B["L₁"] B --> C["M"] C --> D["L₂"] D --> E["← i₂"] end subgraph 同名端["同名端判断"] F["·───╮ ╭───·"] --> G["│ │ │ │"] G --> H["│ │ │ │"] H --> I["└───╯ ╰───┘"] end

同名端规则：

  • 两个电流都从同名端流入（或都流出）→ 取正
  • 一进一出 → 取负

互感电压：u₂ = ±M·di₁/dt，正负号由同名端决定

10-2 含有耦合电感电路的计算（去耦等效）

含互感的电路不能直接套结点法。标准处理是去耦等效，把互感网络变成普通 T 型网络，之后就能用第3章方法：

  • 串联：同名端相接（顺串）等效 \(L = L_1 + L_2 + 2M\)；异名端相接（反串）\(L = L_1 + L_2 - 2M\)。
  • 三端接法的 T 型去耦（一个公共端）：
    • 公共端是同名端：\(L_a = L_1 - M\)，\(L_b = L_2 - M\)，\(L_m = M\)；
    • 公共端是异名端：\(L_m = -M\)。
  • 口诀："同名同向加、异名减"；去耦之后再算就是普通电路。

10-3 空心变压器

  • 两个线圈只有互感耦合，没有铁芯。电路方程（相量形式）：

    \[\dot U_1 = j\omega L_1\dot I_1 + j\omega M\dot I_2 \]

    \[\dot U_2 = j\omega M\dot I_1 + j\omega L_2\dot I_2 \]

  • 反映阻抗：副边反映到原边的等效阻抗

    \[Z_{ref} = \frac{(\omega M)^2}{Z_2} \]

    它解释了一个物理现象：副边接负载，原边电流会变大——能量通过互感传过去了。算原边时把副边"折算"过来即可。

10-4 理想变压器（考试常考、必须秒答）

  • 条件：全耦合 \(k=1\)、无损耗、\(L_1 L_2 \to \infty\)。它是纯数学模型，不做能量转换也不耗能，只变压、变流、变阻抗：

    \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = n \qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{n} \]

  • 阻抗变换：从原边看进去，副边负载 \(Z_L\) 折算为 \(n^2 Z_L\)。这是"阻抗匹配"的根本原理（音频功放、天线匹配都用它）。
  • 注意：理想变压器不储能、不耗能，输入功率恒等于输出功率；它和互感是两个模型，别混——互感是物理器件，理想变压器是理想化约束模型。

▸ 考点：同名端定符号、去耦等效拆结构、理想变压器记比值（电压比 = 匝数比 = n，电流比 = 1/n，阻抗比 = n²）。工程应用密集：电源变压器、音频变压器、无线充电、高速 PCB 耦合串扰、射频阻抗匹配。

第11章 电路的频率响应

本章定位：之前都假设电源频率固定。本章问一个更本质的问题：同一个电路，不同频率的信号进来，输出会怎么变？ 答案就是频率响应 \(H(j\omega)\)。它的现实意义：滤波器、谐振选频、放大器的带宽。对 CS 尤其重要：PCB 高速信号、时钟、USB/PCIe 都受频率响应支配。

11-1 网络函数

  • 定义：

    \[H(j\omega) = \frac{\dot U_{out}}{\dot U_{in}}（或 \frac{\dot I_{out}}{\dot I_{in}}） \]

    是 \(\omega\) 的复函数。
  • 幅频特性 \(|H(j\omega)|\)：各频率放大的倍数；
  • 相频特性 \(\angle H(j\omega)\)：各频率的相位延迟。
  • 求法：直接用相量法算（结点法/戴维南），把 \(s\) 当 \(j\omega\) 即可。

11-2 RLC 串联电路的谐振（本章主角）

  • 谐振条件：\(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)，此时 \(X_L = X_C\)，电路呈纯阻，电流最大。
  • 品质因数：

    \[Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 CR} \]

    • Q 决定谐振曲线尖不尖。Q 越大，谐振曲线越陡，选频能力越强（收音机选台）；
    • Q 小时，曲线平缓，"通频带宽"。
  • 谐振时 L、C 上的电压是电源的 Q 倍（电压谐振）——这是高 Q 电路的工程隐患（电压击穿）。

RLC串联谐振特性：

特性 数值/说明
谐振条件 ω₀ = 1/√(LC)，X_L = X_C
阻抗最小值 Z = R（纯电阻）
电流最大值 I = U/R
电压谐振 UL = UC = Q·U（Q倍放大）
品质因数 Q = ω₀L/R = 1/(ω₀CR)
通频带 BW = ω₀/Q

Q 值的影响：

  • Q 大 → 曲线尖锐 → 选频能力强（收音机选台）
  • Q 小 → 曲线平缓 → 通频带宽

11-3 RLC 串联电路的频率响应

  • 通频带 BW：\(|H|\) 降到最大值的 \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)（−3dB 点）处的频率范围：

    \[BW = \frac{\omega_0}{Q} \]

    Q 越高、带宽越窄——这解释了为什么高性能选频必须配高 Q。
  • 频率远低于 \(\omega_0\) 时电容主导（输出小），远高于时电感主导——谐振点附近出现"选频峰"。

11-4 RLC 并联谐振电路

  • 并联谐振时阻抗最大、电流最小，用于选频（中周变压器、晶振）和阻塞。
  • 与串联谐振对偶（第4章对偶原理的应用）：串联是电压谐振、并联是电流谐振。

11-5 波特图

  • 波特图：横轴频率取对数、纵轴取分贝（\(20\lg|H|\)），把幅频曲线画成近似的折线（直线段+拐点），一目了然。
  • 拐点对应极点/零点频率；每过一个极点斜率 −20dB/十倍频。是工程上快速估计电路/系统特性的标准工具。

11-6 滤波器简介

  • 滤波器 = 频率响应在工程上的名字。四种类型：
    • 低通（RC 就能做）：放行低频、压制高频；
    • 高通：放行高频、压制低频；
    • 带通（RLC 谐振就是带通）：只放行谐振点附近频带；
    • 带阻：压制某个频带。
  • 性能指标：通频带、截止频率（−3dB 点）、过渡带陡度（阶数越高越陡）。

▸ 对 CS：数字电路里的时钟信号、USB/PCIe 高速信号都有丰富频谱，PCB 上的一切都受频率响应支配。学会看幅频曲线，就等于学会评估一个通道能"放行"多快的信号。

第12章 三相电路

本章定位：电力工业为什么用三相？因为三相电效率高（同样线材传输更多功率）、电机容易起动旋转。本章学三相电源与三相负载的计算。对电气/自动化是主战场，对计算机专业是工程常识（读懂家庭电路 220V/380V、数据中心供电都需要它）。

12-1 三相电路

  • 对称三相电源：三个正弦源，同幅值、同频率、相位各差 120°：

    \[u_A = U_m\cos\omega t,\quad u_B = U_m\cos(\omega t - 120°),\quad u_C = U_m\cos(\omega t + 120°) \]

  • 两种接法：
    • Y（星形）：三相电源共端接中（零）线，引出三根相线；
    • Δ（三角形）：首尾相接成环，只引出三根线（无中线）。

三相电源Y/Δ接法图：

graph TB subgraph Y["Y 形接法（星形）"] A["A"] --> B["120°"] B --> C["B"] C --> D["120°"] D --> E["C"] E --> F["N（中线）"] end subgraph Delta["Δ 形接法（三角形）"] G["A"] --> H["B"] H --> I["C"] I --> G end

Y/Δ 接法对比：

接法 线电压 UL 线电流 IL 相位关系
Y 接 √3·Up（相电压） Ip（相电流） 线电压超前相电压 30°
Δ 接 Up（相电压） √3·Ip（相电流） 线电流滞后相电流 30°

记忆口诀：Y 升压、Δ 升流，都乘 √3

12-2 线电压（电流）与相电压（电流）的关系

必背公式：

  • Y 接：线电压 \(U_L = \sqrt3\,U_p\)（相电压），线电流 \(I_L = I_p\)（相电流）；
  • Δ 接：线电压 \(U_L = U_p\)，线电流 \(I_L = \sqrt3\,I_p\)。
  • 即"Y 升压、Δ 升流"，都乘 \(\sqrt3\)。我国市电：相电压 220V，线电压 \(220\sqrt3 \approx 380\)V。

12-3 对称三相电路的计算（取一相法）

  • 核心思想：对称时三个相的电压电流只差 120° 相位，算一相，其余两相旋转 120°/240° 抄答案。
  • 做法：
    1. 画出一相（Y-Y 取 A 相，把中线当公共点；Δ 负载先变换为 Y 或直接单相分析）；
    2. 用单相方法算出该相电流/电压；
    3. 相电流 → 线电流按 12-2 的接法换算；其余两相 = 该相 ±120°。
  • 中线电流：对称时为零（中线可省）；不对称时不为零。

12-4 不对称三相电路的概念

  • 不对称时中性点发生电压偏移（中点位移）——各相电压不再是 120° 对称，某相可能过高或过低。
  • 计算：用结点电压法算中性点位移 \(U_{N'N}\)，各相电压随之变化。
  • 典型应用：三相负载不对称时中线的重要作用——断中线可能导致某相电压过高烧设备（安全常识）。

12-5 三相电路的功率

  • 对称时总功率（无论 Y 还是 Δ，统一形式，别记混）：

    \[P = \sqrt3\,U_L I_L \cos\varphi \]

  • \(\varphi\) 是相电压与相电流的相位差（每相负载的功率因数角），不是线电压与线电流的差！
  • 无功功率 \(Q = \sqrt3\,U_L I_L\sin\varphi\)，视在功率 \(S = \sqrt3\,U_L I_L\)。
  • 两块瓦特表法可以测三相总功率（两表读数代数和 = 总功率）——工程常识，知道即可。

▸ 考点：Y/Δ 的线-相换算、取一相法、三相功率公式、中线的作用。第一次遇到"相位差 120° 的多源系统"，进一步巩固相量法的运用。

第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

本章定位：正弦是特例。现实中方波、锯齿波、整流后的波形全是非正弦周期信号。本章用傅里叶级数把任意周期信号拆成一堆正弦，然后"每个正弦用相量法单独算，最后叠加"——第8-9章的工具一个不浪费。对 CS：这就是"信号的频域分解"。

13-1 非正弦周期信号

  • 常见的非正弦周期信号：方波、锯齿波、三角波、整流波、半波、脉冲序列……
  • 为什么研究它们：真实电路（数字电路时钟、电源整流）的输入都是这类波形。

13-2 周期函数分解为傅里叶级数

任何周期函数可分解为：

\[f(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} A_k\cos(k\omega t + \varphi_k) \]

即：直流分量 + 基波（k=1）+ 各次谐波（k=2,3,…）。

  • \(A_0\)：直流分量（一个周期内的平均值）；
  • \(A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\)：基波（与 f 同频率）；
  • \(A_k\)：k 次谐波幅值。
  • 频谱：把各频率分量的幅值画成竖线图（横轴频率），就是频谱图。信号越"陡峭"，高频谐波越丰富。
  • 掌握几个常见分解结果：方波的奇次谐波（\(\frac{4U}{\pi}(\sin\omega t + \frac13\sin3\omega t + \cdots)\)）、整流波的谐波规律，有助于考试。

傅里叶分解示意图（方波为例）：

graph TB subgraph 时域["方波信号"] A["f(t)"] --> B["方波波形"] end subgraph 频域["频谱图（幅值）"] C["1"] --> D["基波"] E["1/3"] --> F["3次谐波"] G["1/5"] --> H["5次谐波"] end

方波的傅里叶级数：
f(t) = (4U/π)[sin(ωt) + (1/3)sin(3ωt) + (1/5)sin(5ωt) + ...]

特点：

  • 只含奇次谐波
  • 谐波幅值随次数递减（1/k）
  • 信号越"陡峭"，高频谐波越丰富

13-3 有效值、平均值和平均功率

  • 有效值（各分量有效值平方和再开方）：

    \[U = \sqrt{U_0^2 + U_1^2 + U_2^2 + \cdots} \]

  • 平均功率（直流功率 + 各谐波功率之和）：

    \[P = P_0 + P_1 + P_2 + \cdots \]

  • 关键性质（反复考）：不同频率的分量之间不贡献功率——它们相乘在一个周期内积分为零。只有同频率的电压电流才产生平均功率。

13-4 非正弦周期电流电路的计算（考点流程）

  1. 把电源拆成：直流 + 基波 + 各谐波分量；
  2. 分别对每个频率用相量法（或直流法）计算：
    • 直流分量：C 开路、L 短路；
    • 各谐波：L 的阻抗是 \(k\omega L\)、C 的是 \(\dfrac{1}{k\omega C}\)——每个频率阻抗不同，必须分开算，不能偷懒合在一起；
  3. 结果用叠加定理合成（因为是线性电路）；
  4. 用 13-3 公式算总有效值/总功率。

▸ 对 CS：数字电路里的方波时钟、通信里的调制波、音频采样，本质都是"信号的频域分解"。学完这章，你对"为什么时钟频率越高干扰越强"会有真正理解。它也是下一章拉普拉斯变换的引桥。

第14章 线性动态电路的复频域分析

本章定位：这是全书的方法论终局。前面所有方法的痛点：时域法（第7章）只适合简单一阶，二阶以上方程组爆炸；相量法（第8章）只能处理正弦稳态，波形一变就废。拉普拉斯变换一次解决所有问题：任意波形 + 复杂动态电路 + 初始条件，全部转成代数方程。它把全书统一了——时域法、相量法、非正弦法全是它的特例。

14-1 拉普拉斯变换的定义

  • 定义：把时域函数 \(f(t)\) 变成复频域函数 \(F(s)\)：

    \[F(s) = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt \]

    其中 \(s = \sigma + j\omega\) 是复频率。
  • 记作 \(f(t) \leftrightarrow F(s)\)（拉氏变换对）。\(f(t)\) 只定义在 \(t\ge0\)（开关动作以后），\(t<0\) 为 0。
  • 为什么要这个变换：指数因子 \(e^{-st}\) 把"求导"变成"乘 s"，把"积分"变成"除 s"——微积分运算在 s 域全部变成代数运算。

14-2 拉普拉斯变换的基本性质

三个核心性质（全章都在用）：

  • 线性：\(af_1(t) + bf_2(t) \leftrightarrow aF_1(s) + bF_2(s)\)；
  • 微分：

    \[\frac{df}{dt} \leftrightarrow sF(s) - f(0^-) \]

    初始条件自动被写进方程——这就是它比相量法强的根本原因；
  • 积分：\(\int f\,dt \leftrightarrow \dfrac{F(s)}{s}\)。

常用变换对（背这几个即可）：

f(t) (t≥0) F(s)
\(\delta(t)\) 1
\(\varepsilon(t)\) \(\dfrac{1}{s}\)
\(e^{-at}\) \(\dfrac{1}{s+a}\)
\(\sin\omega t\) \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(\cos\omega t\) \(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\)
\(t\) \(\dfrac{1}{s^2}\)
  • 相量法是特例：当输入是正弦且电路已达稳态，令 \(s = j\omega\)，拉氏变换退化为相量。一个公式体系统一全部。

14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开（本章的"体力活"）

把 \(F(s) = \dfrac{N(s)}{D(s)}\) 拆成若干简单分式，每个对应一个标准反变换：

  • 单实根：\(\dfrac{A}{s+a} \leftrightarrow Ae^{-at}\)；
  • 重根：\(\dfrac{A}{(s+a)^2} \leftrightarrow Ate^{-at}\)；
  • 共轭复根：\(\leftrightarrow e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\) 类（欠阻尼振荡就是这么来的）。

系数求法（留数法）：

  • 单根：\(A_k = (s+s_k)F(s)\Big|_{s=-s_k}\)（代入根值）；
  • 重根：逐阶求导；
  • 复根：化为"衰减正弦/余弦"的标准形式，或按共轭成对合并。

熟练后就是套公式。先把 D(s) 因式分解，再按根的类型选模板，最后查表反变换。

14-4 运算电路（把电路整个搬到 s 域）

元件全部换成"s 域模型"：

  • 电阻：\(R\)（不变）；
  • 电感：阻抗 \(sL\)，串联一个初始电压源 \(Li(0^-)\)（或并联一个初始电流源 \(\dfrac{i(0^-)}{s}\)）；
  • 电容：阻抗 \(\dfrac{1}{sC}\)，串联一个初始电压源 \(\dfrac{u(0^-)}{s}\)。

于是：含初始储能的动态电路 = s 域里的普通电阻电路。第2-4章的所有方法（结点法、叠加、戴维南）直接照搬，只在 s 域做。初始条件通过那个"串联源"自动进入方程——不用再单独列初始条件。

做完得到一个代数方程，解出 \(U(s)/I(s)\)，再反变换回时域。
s域运算电路模型：

元件 时域模型 s域模型
电阻 R R R（不变）
电感 L L sL 串联 Li(0-)
电容 C C 1/(sC) 串联 u(0-)/s

关键优势：

  • 初始条件自动进入方程
  • 不再需要单独列初始条件！
  • 含初始储能的动态电路 = s 域里的普通电阻电路

14-5 应用拉普拉斯变换分析线性电路

完整解题流程（五步）：

  1. 画换路后电路，标出初始条件 \(u_C(0^-)\)、\(i_L(0^-)\)；
  2. 把电路改画成 s 域运算电路（元件换模型 + 初始源）；
  3. 用结点法/网孔法/戴维南列代数方程，解出所求量的 \(F(s)\)；
  4. 部分分式展开 \(F(s)\)；
  5. 查表反变换，得时域解 \(f(t)\)。

网络函数 \(H(s)\) 与系统响应：

  • \(H(s) = \dfrac{输出(s)}{输入(s)}\)，在复频域里描述系统；
  • 零状态响应 = \(H(s)\cdot\)输入变换式；全响应 = 零状态 + 零输入（初始条件在运算电路里自动处理）；
  • 极点（分母根）决定响应形态：
    • 负实极点 → 指数衰减；
    • 复极点（实部<0）→ 衰减振荡；
    • 虚轴极点 → 等幅振荡；
    • 右半平面极点 → 发散（不稳定）。
      这是"系统稳定性"的雏形——控制理论的核心概念从这里长出来。

▸ 考点：常用变换对、运算电路的画法、部分分式展开、网络函数与极点。对 CS：拉氏变换是"信号与系统""自动控制""数字信号处理"的共同地基，也是理解"传递函数/系统稳定性"的唯一正确入口。

第15章 电路方程的矩阵形式

本章定位：第3章教你手列方程。本章告诉你如何让计算机自动列方程：把电路拓扑用图论描述，把 KCL/KVL 写成矩阵方程。这是电路 CAD（SPICE、Multisim）的数学基础——对计算机专业格外有意义（"电路课里最像你的专业课"的一章）。

15-1 割集

  • 割集：一组支路，把它们全去掉后，图分成两个互不连通的部分；而只要其中任何一条支路不取，图仍连通。这样的支路组叫割集。
  • 基本割集：只含一个树支的割集（树支 + 若干连支）。基本割集的数量 = 树支数 = n−1。
  • 割集的意义：对割集列 KCL（割集两边电流代数和为 0）得到独立方程——它是结点法的推广。

15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

图的语言（三件套）：

  • 关联矩阵 A（结点×支路）：\(A\) 中第 \((i,j)\) 项为 1/−1/0，表示支路 j 是否连到结点 i 及其方向。KCL 写成 \(A\dot I = 0\)。
  • 回路矩阵 B（回路×支路）：描述哪些支路构成基本回路。KVL 写成 \(B\dot U = 0\)。
  • 割集矩阵 Q（割集×支路）：描述割集与支路的关系。KCL 的割集形式：\(Q\dot I = 0\)。

用基本回路矩阵 \(B_f\)、基本割集矩阵 \(Q_f\)（均以树支为单位阵打头）最方便。

15-3 矩阵 A、Bf、Qf 之间的关系

三者满足正交关系（相互"检验"的工具）：

\[A B_f^T = 0, \qquad B_f Q_f^T = 0 \]

物理含义：每个支路电压 = 相关结点电压差（\(U = A^T U_n\)），每个支路电流 = 相关回路电流之和（\(I = B^T I_l\)）——拓扑约束用矩阵自动满足。

15-4 回路电流方程的矩阵形式

\[Z_l \dot I_l = \dot U_l \]

  • \(\dot I_l\)：连支（基本回路）电流向量；
  • \(Z_l = B_f Z B_f^T\)：回路阻抗矩阵（自阻为正、互阻为负，与第3章网孔法形式一致）；
  • \(\dot U_l\)：回路电压源向量。

就是网孔/回路电流法的矩阵版——手算时逐条列，计算机就是组装这个矩阵再解。

15-5 结点电压方程的矩阵形式（重点）

\[Y_n \dot U_n = \dot J_n \]

  • \(\dot U_n\)：结点电压向量（参考结点除外）；
  • \(Y_n = A Y A^T\)：结点导纳矩阵（对角线是自导纳为正，非对角线是互导纳为负）；
  • \(\dot J_n\)：结点电流源注入向量。

它就是第3章结点法的矩阵版。这是最常用的形式，也是 SPICE 类仿真软件建立方程的核心。

15-6 割集电压方程的矩阵形式

\[Q_f Z Q_f^T \dot U_q = Q_f \dot U_s \qquad（\text{树支电压法}） \]

  • 以树支电压为未知量，对基本割集列 KVL/KCL。
  • 与结点法对偶：结点电压法适合电路接地明确、含并联支路的场合；割集法更一般，可处理无参考结点的场合。考试要求低于结点法，了解即可。

15-7 列表法（了解）

  • 不选未知量，直接把全部支路的 VCR + KCL + KVL 方程全部列出（不消元），形成大型稀疏方程组：

    \[\begin{cases} A I = 0 \\ B U = 0 \\ U = Z I + U_s - Z I_s \end{cases} \]

  • 优点：列方程完全机械化、零技巧，适合计算机；缺点：未知量多（每支路一个电压一个电流 + 结点电压）。
  • 现代电路仿真常用改进的列表法（如改进结点法 MNA），理解思想即可。

15-8 状态方程（CS 会亲切）

  • 把电路写成状态空间形式：

    \[\dot x = Ax + Bu, \qquad y = Cx + Du \]

    其中 \(x\) 是状态变量（电容电压、电感电流），\(u\) 是输入，\(y\) 是输出。
  • 建立方法：选树（电容为树支、电感为连支）→ 列"电容支路的割集方程"和"电感支路的回路方程"，消去非状态变量。
  • 意义：这就是现代控制理论的状态空间模型，也是数值仿真（MATLAB/Simulink）做电路仿真的核心。CS 学生应该一眼认出："用一阶微分方程组描述动态系统"。

▸ 考点：三矩阵的写法与正交关系、结点导纳矩阵的组装（自正互负）、状态方程的建立。它是人脑方法 → 计算机算法的转换章。

第16章 二端口网络

本章定位：黑箱思维——把复杂电路（芯片、放大器）当作只有两个口的盒子，只关心"端口电压电流之间的关系"，完全不看内部。这是系统设计的通用哲学：对外只暴露接口。计算机系学生可类比：Z/Y/H/T 参数 = 不同视角的 API 文档，等效电路 = 桩实现，级联矩阵 = 组件组合。

16-1 二端口网络

  • 定义：对外有两个端口的网络，每个端口一进一出，满足"流入的电流 = 流出的电流"（满足端口条件的才能叫二端口）。
  • 输入端口（1-1'）与输出端口（2-2'），共四个量：\(U_1, I_1, U_2, I_2\)。
  • 不含独立源、线性时不变的二端口，四个量之间只有两个独立约束 → 用两个方程、四套参数描述。

二端口网络框图：

graph LR A["1"] --> B["二端口网络"] B --> C["2"] D["1'"] --> B B --> E["2'"]

端口条件：I₁ = I₁', I₂ = I₂'

四个变量：U₁, I₁, U₂, I₂ → 两个独立方程 → 四套参数描述

16-2 二端口的方程和参数（核心内容，会换算、会选用）

参数 方程 测法 特点/用途
Z 参数 \(U_1=z_{11}I_1+z_{12}I_2\)，\(U_2=z_{21}I_1+z_{22}I_2\) 开路参数（I=0 测） 适合串联分析
Y 参数 \(I_1=y_{11}U_1+y_{12}U_2\)，\(I_2=y_{21}U_1+y_{22}U_2\) 短路参数（U=0 测） 适合并联分析
H 参数 \(U_1=h_{11}I_1+h_{12}U_2\)，\(I_2=h_{21}I_1+h_{22}U_2\) 混合测 晶体管模型的标准语言
T 参数 \(U_1=AU_2-BI_2\)，\(I_1=CU_2-DI_2\) 级联测 级联用（A、B、C、D）
  • 求法：让某端口开路/短路，把另一口"顶"成只有单源，测比值。每个参数都有明确物理含义（如 \(z_{11}\) = 输出开路时输入阻抗，\(y_{11}\) = 输出短路时输入导纳）。
  • 四套参数可以互转（给出 Z 求 \(Y = Z^{-1}\) 等），考试常考互转。

16-3 二端口的等效电路

  • T 型等效（对应 Z 参数）：三个阻抗 \(Z_1, Z_2, Z_3\) 构成 T 形网络；
  • π 型等效（对应 Y 参数）：三个导纳构成 π 形网络。
  • 意义：内部再复杂的盒子，外部行为三个元件就能重现。

16-4 二端口的转移函数

  • 输出端接上负载 \(Z_L\) 后，输入输出的关系 = 转移函数（电压比、电流比、互导纳等），是第11章网络函数在二端口里的体现。
  • 对给定输入求输出：把二端口参数 + 负载代入约束方程，解出 \(U_2/U_1\) 即可。

16-5 二端口的连接

  • 级联（链式）:两个二端口串联接成链，总 T 参数 = 两个 T 参数矩阵相乘：

    \[T = T_1 \cdot T_2 \]

    信号逐级经过，矩阵连乘——这是"系统级建模"的标准姿势。
  • 串联/并联/串并联：对应 Z 相加、Y 相加、H 相加（Z 串联、Y 并联、H 串并联），但需满足端口条件（每个端口仍满足二端口条件），否则要加隔离变压器。

16-6 回转器和负阻抗转换器（了解）

  • 回转器：把电容"回转"成电感、电压回转成电流的器件，用 Z/Y 参数描述（\(z_{12}=-z_{21}\)）。可在集成电路里用有源电路实现电感（真实电感难做、占地大）。
  • 负阻抗转换器 NIC：把负载阻抗"变负"（\(Z_{in} = -Z_L\)），用于补偿电阻损耗、振荡器等。
  • 两者都是"有源二端口"的典型例子，理解"用二端口参数刻画特殊器件"的思路即可。

▸ 考点：四套参数的求法与互转、T/π 等效、级联 T 参数相乘、特性阻抗与匹配（对称二端口特性阻抗 \(Z_c\)，终端接 \(Z_c\) 反射为零——高速信号完整性设计的理论源头）。它是后面模拟集成电路分析（晶体管小信号模型用 H 参数）的直接基础。

第17章 非线性电路

本章定位：真实器件（二极管、三极管、磁芯）都是非线性的。非线性彻底废掉叠加定理——第2-4章全部失效。本章教两件事：非线性电路怎么列方程、怎么近似求解。它是"线性电路理论"通往"真实器件世界"的桥。

17-1 非线性电阻

  • 定义：u-i 关系是曲线，不是过原点的直线。
  • 两种电阻（关键区别，必考）：
    • 静态电阻：\(R = \dfrac{u}{i}\)（工作点的割线斜率）；
    • 动态电阻：\(r_d = \dfrac{du}{di}\)（工作点切线斜率，小信号分析的核心）。
  • 单调递增曲线 → 动态电阻为正；有负斜率区段 → 负阻特性（如隧道二极管）。
  • 非线性电容/电感类似：特性是曲线，动态参数 \(\dfrac{du}{dt}\) 相关定义对偶。

非线性电阻 u-i 特性曲线：

电阻类型 公式 几何意义 说明
静态电阻 R u/i 工作点到原点的连线斜率 工作点的直流电阻
动态电阻 rd du/di 工作点的切线斜率 小信号分析的核心

关键区别：

  • 非线性：u-i 是曲线，R 和 rd 完全不同
  • 单调递增曲线 → 动态电阻为正
  • 负斜率区段 → 负阻特性（如隧道二极管）

17-2 非线性电容和非线性电感（了解）

  • 非线性电容：\(q\)-\(u\) 曲线非线性，动态电容 \(C_d = \dfrac{dq}{du}\)（变容二极管靠这个原理工作）；
  • 非线性电感：\(\psi\)-\(i\) 曲线非线性，动态电感 \(L_d = \dfrac{d\psi}{di}\)（磁芯饱和现象）。
  • 理解"工作点附近的动态参数"思想即可，具体器件在第17章后半与模拟电子课再展开。

17-3 非线性电路的方程

  • 列出 KCL/KVL 仍然成立（拓扑约束与元件类型无关），但 VCR 是非线性方程 → 整体是非线性代数/微分方程组。
  • 解析解一般不存在，所以需要下面两种近似/图解法。二极管的"导通/截止"开关模型就是分段线性化的应用。

17-4 小信号分析法（本章的压轴，对 CS 意义重大）

  • 思路：在直流工作点附近，把非线性曲线用切线（小信号等效）代替。
  • 步骤：
    1. 直流电源单独作用（小信号源置零），解出工作点（静态工作点 Q）；
    2. 在 Q 点把非线性元件换成动态电阻 \(r_d = \dfrac{du}{di}\)；
    3. 小信号源单独作用，在"线性化后的小信号电路"里算（此时叠加定理又合法了）；
    4. 总量 = 直流分量 + 小信号分量。
  • 前提条件：小信号幅值必须很小，才在切线附近可近似线性。

为什么重要：这就是三极管放大器的全部原理——直流偏置定工作点，交流小信号在线性化电路里放大。它是"模拟电子技术"的第一课。

▸ 对 CS 的彩蛋：数字电路里的"开关模型"（导通=小电阻，截止=大电阻）就是分段线性化；逻辑门的噪声容限、电平判定都基于工作点思想。

17-5 分段线性化方法

  • 思路：把曲线切成几段直线，每段内按线性算，再按实际工作点判断落在哪段。
  • 二极管模型：导通段（近似 0 电阻 + 死区电压 \(U_D\)）、截止段（近似开路）。
  • 解题流程：①假设工作点在某段 → ②按该段的线性模型算 → ③验证假设（算出的工作点是否落在该段）→ 不在则换段重算。
  • 三极管"饱和/放大/截止"三态分析、稳压管工作区判断都是这个套路。

▸ 考点：静态/动态电阻的区别、图解求工作点（负载线交点）、小信号等效电路、分段线性化的二极管模型。学完它，你会明白为什么之前"理想化"是必要的，以及如何用"线性化"近似把熟悉的工具重新派上用场。

第18章 均匀传输线

本章定位：之前全部假设电路尺寸远小于波长（集总参数：元件集中在一个点）。本章放开：当导线长度可以和波长相比（高频信号线、长途电力线）时，电阻、电感、电容沿导线连续分布，电压电流沿线的位置不同而不同——这是"分布参数"电路。对 CS 学生这是最"接地气"的一章：PCB 高速走线、USB/HDMI/DDR 信号完整性、射频同轴线、天线馈线全由它支配。

18-1 均匀传输线及其方程

  • 均匀传输线：沿线材料与几何形状处处相同的传输线。
  • 分布参数模型：每段取微元 \(dx\)，都有：分布电阻 \(R_0\)、分布电感 \(L_0\)、分布电导 \(G_0\)、分布电容 \(C_0\)（单位长度的量）。
  • 电报方程：由微元上的 KCL/KVL 得到的一对偏微分方程（同时是时间 t 和位置 x 的函数）：

    \[-\frac{\partial u}{\partial x} = R_0 i + L_0\frac{\partial i}{\partial t}, \qquad -\frac{\partial i}{\partial x} = G_0 u + C_0\frac{\partial u}{\partial t} \]

    波动方程就是从这两式消元得到的。

传输线分布参数模型：

参数 符号 物理意义
分布电阻 R₀ 沿线有电阻衰减
分布电感 L₀ 沿线有电感储能
分布电导 G₀ 线间有漏电导
分布电容 C₀ 线间有分布电容

电报方程：

  • -∂u/∂x = R₀i + L₀·∂i/∂t （KVL）
  • -∂i/∂x = G₀u + C₀·∂u/∂t （KCL）

关键点：当线路长度 ≈ 波长时，必须用分布参数模型！

18-2 均匀传输线的正弦稳态解

  • 在正弦稳态下用相量法解电报方程（把 \(j\omega\) 代入），得沿线电压/电流的分布：

    \[\dot U(x) = \dot A_1 e^{-\gamma x} + \dot A_2 e^{\gamma x} \]

  • 两个特征量：
    • 传播常数 \(\gamma = \alpha + j\beta\)：\(\alpha\) 是衰减常数（每单位长度衰减），\(\beta\) 是相位常数（每单位长度相位变化）；
    • 特性阻抗 \(Z_0 = \sqrt{\dfrac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}}\)。无损耗时是纯实数 \(Z_0 = \sqrt{\dfrac{L_0}{C_0}}\)——50Ω/75Ω 同轴线就是这么来的。
  • 通解里 \(e^{-\gamma x}\) 是入射波、\(e^{\gamma x}\) 是反射波，幅值由边界（终端负载）决定。

18-3 行波和驻波

  • 行波：沿线无反射（终端匹配）时，只有一个方向传播的波，能量被终端吸收。
  • 驻波：入射波 + 反射波叠加形成，线上某些点电压恒定最大、某些点恒为 0（波节/波腹），能量传不出去、来回振荡。
  • 驻波比 VSWR（或驻波系数）：衡量失配程度：

    \[VSWR = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} \]

    匹配时 VSWR = 1，全反射时 \(\to\infty\)。

18-4 反射系数、驻波比和输入阻抗

  • 反射系数（终端 \(Z_L\) 处）：

    \[\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \]

  • 终端匹配 \(Z_L = Z_0\) 时 \(\Gamma = 0\)，无反射——这是高速电路的铁律。\(Z_L = 0\)（短路）时 \(\Gamma = -1\) 全反射反相；\(Z_L=\infty\)（开路）时 \(\Gamma = +1\) 全反射同相。
  • 输入阻抗：距终端 \(l\) 处向终端看进去的阻抗 \(Z_{in}(l)\) 由传输线方程给出（含 \(\gamma l\) 的 tanh/指数项），随长度变化。特殊长度：\(\lambda/4\) 线变阻抗、\(\lambda/2\) 线复现终端阻抗（\(\lambda/2\) 变换器、\(\lambda/4\) 阻抗变换器是微波常识）。

反射系数和阻抗匹配：

情况 条件 反射系数 Γ 特征
匹配 ZL = Z₀ 0 无反射，信号全部被负载吸收
短路 ZL = 0 -1 全反射反相
开路 ZL = ∞ +1 全反射同相
失配 0 < ZL < ∞ 0 < Γ

反射系数公式：Γ = (ZL - Z₀)/(ZL + Z₀)

匹配条件：ZL = Z₀ → 信号全部被负载吸收

18-5 无损耗线

  • 无损耗线：\(R_0 = G_0 = 0\)，\(\alpha = 0\)，\(\beta = \omega\sqrt{L_0C_0}\)，\(Z_0 = \sqrt{\dfrac{L_0}{C_0}}\) 为实数。
  • 线上行波不衰减；信号以速度 \(v = \dfrac{1}{\sqrt{L_0C_0}}\) 传播。
  • 特性阻抗与频率无关 → 所有频率的信号看进去的阻抗一致，这是同轴电缆能做宽带传输的原因。

18-6 无损耗线的波过程（了解）

  • 波过程：线路上传播的是电压波和电流波，两波之间的对应关系由特性阻抗决定：\(\dfrac{u}{i} = Z_0\)（无反射区）。
  • 入射波遇到不连续点（负载不匹配、阻抗突变、分支）产生反射波；多次反射在线上往返，最终趋于稳态。
  • 这是高速数字电路中信号反射、振铃（ringing）、串扰的物理基础——为什么走线要等长？为什么要端接匹配电阻？都在这里。

▸ 考点：特性阻抗与传播常数、反射系数公式、匹配条件 \(Z_L = Z_0\)、驻波比、无损耗线特性。对 CS：PCB 等长走线、DDR 内存端接、USB 差分对阻抗设计全部源于本章。

四、全书收尾：一张地图看明白所有内容的关系

graph TB A["第1章 立法（KCL/KVL/VCR + 参考方向）"] --> B["电阻网络：代数方程"] B --> C["第2章 等效变换（化简技巧）"] B --> D["第3章 结点/网孔法（系统列方程）"] B --> E["第4章 电路定理（戴维南/叠加/最大功率）"] B --> F["第5章 运放（受控源应用）"] A --> G["储能元件（第6章：C守电压、L守电流）"] G --> H["动态电路：微分方程（第7章：三要素法/二阶三种阻尼）"] A --> I["正弦稳态：相量法（第8章，微积分→复数代数）"] I --> J["第9章 阻抗/功率/谐振"] J --> K["第10章 耦合电感与变压器"] J --> L["第11章 频率响应（滤波器）"] J --> M["第12章 三相电路"] A --> N["第13章 非正弦 = 傅里叶拆成分量，每个用相量法"] A --> O["第14章 拉普拉斯变换 = 终极统一（s域代数方程）"] O --> P["第15章 矩阵形式（交给计算机）"] O --> Q["第16章 二端口（黑箱抽象）"] A --> R["第17章 非线性（线性化近似）"] R --> S["第18章 分布参数（传输线）"]

复习真言（按教材主线梳理的权重从高到低）：

  • 第3章结点法 + 第4章戴维南：贯穿全书的解题引擎（第9、13、14章都在复用它）；
  • 第7章三要素法：动态电路 80% 的题都是它；
  • 第9章功率（P/Q/S/复功率、最大功率、功率因数补偿）：正弦稳态的考分大户；
  • 第14章拉氏变换：方法论终局，一统全书。

这五块吃透，其它章节大多是它们的"换皮"或"应用"。

posted @ 2026-09-04 16:52  IcarusLee  阅读(13)  评论(0)    收藏  举报