AcWing算法提高课数学知识

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筛质数

哥德巴赫猜想的内容如下：

任意一个大于

例如：

现在，你的任务是验证所有小于一百万的偶数能否满足哥德巴赫猜想。

输入格式

输入包含多组数据。

每组数据占一行，包含一个偶数

读入以

输出格式

对于每组数据，输出形如 n = a + b，其中

若有多组满足条件的

若无解，输出 Goldbach's conjecture is wrong.。

数据范围

输入样例：
8
20
42
0
输出样例：
8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37

线性筛

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n;
int p[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes()
{
    st[0] = st[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; i * p[j] <= N; j ++ )
        {
            st[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    get_primes();
    while (cin >> n, n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) 
            if (!st[i] && !st[n - i]) 
            {
                printf("%d = %d + %d\n", n, i, n - i);
                break;
            }
    }
    return 0;
}

1293. 夏洛克和他的女朋友

题目：

夏洛克有了一个新女友（这太不像他了！）。

情人节到了，他想送给女友一些珠宝当做礼物。

他买了

华生挑战夏洛克，让他给这些珠宝染色，使得一件珠宝的价格是另一件珠宝的价格的质因子时，两件珠宝的颜色不同。

并且，华生要求他使用的颜色数尽可能少。

请帮助夏洛克完成这个简单的任务。

输入格式

只有一行一个整数

输出格式

第一行一个整数

第二行

若有多种答案，输出任意一种。

请用

数据范围

输入样例1：
3
输出样例1：
2
1 1 2
输入样例2：
4
输出样例2：
2
2 1 1 2

分析：

我们让素数是一种颜色，合数是另一种颜色

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n;
int p[N], cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
    st[0] = 1; st[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++ )
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; p[j] * i <= n; j ++ ) 
        {
            st[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    get_prime(n + 1);
    if (n > 3) cout << 2 << endl;
    else cout << 1 << endl;
    for (int i = 2; i <= n + 1; i ++ ) 
        if (!st[i]) printf("%d ", 1);
        else printf("%d ", 2);
}

　　196. 质数距离

题目：

给定两个整数

同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数

输入格式

每行输入两个整数

输出格式

对于每个

结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）

如果

数据范围

输入样例：
2 17
14 17
输出样例：
2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

分析：

将L到R的合数筛出来，用st[i - L]表示

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000010;
int p[N], cnt;
bool st[N];
bool vis[N];
void init()
{
    for (int i = 2; i <= N; i ++ ) 
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; p[j] * i <= N; j ++ )
        {
            st[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int w[N];
int main()
{
    init();
    // for (int j = 0; j < cnt; j ++ ) cout << p[j] << " ";
    // cout << endl;
    int l, r;
    while (cin >> l >> r)
    {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
        {
            ll pp = p[i];
            for (ll j = max(2 * pp, (l + pp - 1) / pp * pp); j <= r; j += pp )
                vis[j - l] = true;
        }
        int tot = 0;
        for (int i = 0; i <= r - l;i ++ )
            if (!vis[i] && i + l >= 2)
                w[tot ++ ] = i + l;
        if (tot < 2) puts("There are no adjacent primes.");
        else 
        {
            int mi = 0, mx = 0;
            for (int i = 0; i + 1 < tot; i ++ )
            {
                int d = w[i + 1] - w[i];
                if (d < w[mi + 1] - w[mi]) mi = i;
                if (d > w[mx + 1] - w[mx]) mx = i;
            }
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", w[mi], w[mi + 1], w[mx], w[mx + 1]);
        }
        
        // for (int i = l; i <= r; i ++ ) 
        //     cout << vis[i - l] << " ";
        // cout << endl;
        // int start = l, last = l;
        // int a = 2e9, b = -2e9;
        // for (int i = l + 1; i <= r; i ++ )
        // {
        //     if (!vis[i - l] && !vis[start - l] && a > i - start + 1)
        //     {
        //         a = i - start + 1;
        //         start = i;
        //     }
        //     if (!vis[i - l] && !vis[last - l] && b < i - last + 1)
        //     {
        //         b = i - last + 1;
        //         last = i;
        //     }
        // }
        // // cout << a << endl;
        // if (a == 2e9) puts("There are no adjacent primes.");
        // else printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", start - a + 1, start, last - b + 1, last);
    }
}

分解质因数　

197. 阶乘分解

题目：

给定整数

输入格式

一个整数

输出格式

数据范围

1≤N≤106

输入样例：
5
输出样例：
2 3
3 1
5 1
样例解释

分析：

求N！中质因子p的个数，那么我们知道在1~N中，有N / p个p的倍数，有N / (P ^ 2)个p^2个质因子。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n;
int p[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; i * p[j] <= n; j ++ )
        {
            st[i * p[j]] = true;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;    
    get_primes(n);
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
    {
        int s = 0, pp = p[i];
        for (int j = n; j; j /= pp)
        {
            s += j / pp;
        }
        printf("%d %d\n", pp, s);
    }
}

快速幂

1289. 序列的第k个数

题目：

BSNY 在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。

现在给你整数序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第

如果第

输入格式

第一行一个整数

对于每组测试数据，输入前三项

输出格式

对于每组数据，输出第

数据范围

输入样例：
2
1 2 3 5
1 2 4 5
输出样例：
5
16

分析：

等差数列：a + c = 2 * b

等比数列：a * c = b * b

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 200907;
ll qmi(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
ll a, b, c, k;
int main()
{
    int T; cin >> T;
    while (T -- )
    {
        cin >> a >> b >> c >> k;
        if (a + c == b << 1)
        {
            ll d = b - a;
            cout << (a + (k - 1) * d) % mod << endl;
        }
        else 
        {
            ll q = b / a;
            ll ans = a * qmi(q, k - 1) % mod;
            cout << ans << endl;
        }
    }
}

1290. 越狱

题目：

监狱有连续编号为

有

如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。

求有多少种状态可能发生越狱。

输入格式

共一行，包含两个整数

输出格式

可能越狱的状态数，对

数据范围

输入样例：
2 3
输出样例：
6
样例解释

所有可能的

分析：

容斥，将全集减去合法集

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 100003;
ll qmi(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
ll n, m;
int main()
{
    cin >> m >> n;
    cout << (qmi(m, n) % mod - m * qmi(m - 1, n - 1) % mod + mod) % mod << endl;
}

约数个数

1291. 轻拍牛头

题目：

今天是贝茜的生日，为了庆祝自己的生日，贝茜邀你来玩一个游戏．

贝茜让

除了

农夫约翰用很多纸条装满了一个桶，每一张纸条中包含一个

接着每一头奶牛

所有奶牛都选取完毕后，每头奶牛轮流走上一圈，当走到一头奶牛身旁时，如果自己手中的数字能够被该奶牛手中的数字整除，则拍打该牛的头。

牛们希望你帮助他们确定，每一头奶牛需要拍打的牛的数量。

即共有

输入格式

第一行包含整数

接下来

输出格式

共

数据范围

输入样例：
5
2
1
2
3
4
输出样例：
2
0
2
1
3

分析：

计算每个数在n个数字中出现了多少个他的约数。

那么，我们将每个数字用cnt存起来，将所有合数在n中出现的约数都算出来，然后查表

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n;
int a[N], cnt[N];
int ans[N];
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        cnt[a[i]] ++;
    }
    
    for (int i = 1; i < N; i ++ ) 
        for (int j = i; j < N; j += i )
            ans[j] += cnt[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        printf("%d\n", ans[a[i]] - 1);//多加了一个它自己
    return 0;
}

1294. 樱花

题目：

给定一个整数

输入格式

一个整数

输出格式

一个整数，表示满足条件的数对数量。

答案对

数据范围

输入样例：
2
输出样例：
3
样例解释

共有三个数对

分析：

这个题，重点就是对数学公式的推导，需要手推出来，才能看出来性质。

推导省略了，详看AcWing

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005, mod = 1e9 + 7;
int n;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j ++ )
        {
            st[i * primes[j]] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    long long ans = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
    {
        int p = primes[i];
        int s = 0;
        for (int j = n; j >= 1; j /= p) s += j / p;
        ans = ans * (2 * s + 1) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

198. 反素数

题目：

对于任何正整数

如果某个正整数

例如，整数

现在给定一个数

输入格式

一个正整数

输出格式

一个整数，表示不超过

数据范围

输入样例：
1000
输出样例：
840

分析：

这里的代码还是要看以前的提交的，DFS还是不行，这时硬伤

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
ll mx, num;
ll n;
void dfs(ll u, ll last, ll val, ll cnt)
{
    // printf("u = %lld, val = %lld, cnt = %lld\n", u, val, cnt);
        if (cnt > num || (cnt == num && val < mx))
        {
            mx = val;
            num = cnt;
        }
    if (u == 9)
        return;
    for (int i = 1; i <= last; i ++ )
    {
        if (val * a[u] > n) break;
        val *= a[u];
        dfs(u + 1, i, val, cnt * (i + 1));
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    dfs(0, 30, 1, 1);
    cout << mx << endl;
    return 0;
}

200. Hankson的趣味题

题目：

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。

现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数

现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：

已知正整数

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数

但稍加思索之后，他发现这样的

因此他转而开始考虑如何求解满足条件的

请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

输入第一行为一个正整数

接下来的

输入数据保证

输出格式

输出共

每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的

若存在这样的

数据范围

输入样例：
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出样例：
6
2

分析：

将b1所有约数求出来，然后枚举判断是否合法，同时DFS还是不行，这里的的FS需要看原来的代码才写出来的

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100006;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
ll a0, a1, b0, b1;
PII divi[100];
int tot;
int dv[N], ct;
void get_primes()
{
    for (int i = 2; i <= N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= N; j ++ )
        {
            st[i * primes[j]] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
void dfs(int u, int p)
{
    if (u > tot)
    {
        dv[++ ct] = p;
        return;
    }
    for (int i = 0; i <= divi[u].y; i ++ )
    {
        dfs(u + 1, p);
        p *= divi[u].x;
    }
}
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b)
{
    return 1ll * a * b / gcd(a, b);
}
void work()
{
    cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
    ll t = b1;
    tot = 0;
    for (int i = 0; primes[i] <= t / primes[i]; i ++ )
    {
        int p = primes[i], s = 0;
        if (t % p == 0)
        {
            while (t % p == 0 ) s ++, t /= p;
            divi[++ tot] = {p, s};
        }
    }
    if (t > 1) divi[++ tot] = {t, 1};
    
    ct = 0;
    dfs(1, 1);
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= ct; i ++ )
    {
        int x = dv[i];
        if (gcd(x, a0) == a1 && lcm(x, b0) == b1) res ++;
    }
    printf("%d\n", res);
}
int main()
{
    int T; cin >> T;
    get_primes();
    while (T -- )
    {
        work();
    }
    return 0;
}

posted @ 2021-07-22 22:36 rookie161 阅读(365) 评论(0) 收藏举报

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输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例1：

输出样例1：

输入样例2：

输出样例2：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

1≤N≤106

输入样例：

输出样例：

样例解释

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

样例解释

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

样例解释

输入格式

输出格式

数据范围

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输出样例：

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