AcWing算法提高课数学知识

AcWing算法提高课数学知识
筛质数

哥德巴赫猜想的内容如下：

任意一个大于

例如：

现在，你的任务是验证所有小于一百万的偶数能否满足哥德巴赫猜想。

输入格式

输入包含多组数据。

每组数据占一行，包含一个偶数

读入以

输出格式

对于每组数据，输出形如 n = a + b，其中

若有多组满足条件的

若无解，输出 Goldbach's conjecture is wrong.。

数据范围

输入样例：
8
20
42
0
输出样例：
8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37

线性筛

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n;
int p[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes()
{
    st[0] = st[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; i * p[j] <= N; j ++ )
        {
            st[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    get_primes();
    while (cin >> n, n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) 
            if (!st[i] && !st[n - i]) 
            {
                printf("%d = %d + %d\n", n, i, n - i);
                break;
            }
    }
    return 0;
}

1293. 夏洛克和他的女朋友

题目：

夏洛克有了一个新女友（这太不像他了！）。

情人节到了，他想送给女友一些珠宝当做礼物。

他买了

华生挑战夏洛克，让他给这些珠宝染色，使得一件珠宝的价格是另一件珠宝的价格的质因子时，两件珠宝的颜色不同。

并且，华生要求他使用的颜色数尽可能少。

请帮助夏洛克完成这个简单的任务。

输入格式

只有一行一个整数

输出格式

第一行一个整数

第二行

若有多种答案，输出任意一种。

请用

数据范围

输入样例1：
3
输出样例1：
2
1 1 2
输入样例2：
4
输出样例2：
2
2 1 1 2

分析：

我们让素数是一种颜色，合数是另一种颜色

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n;
int p[N], cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
    st[0] = 1; st[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++ )
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; p[j] * i <= n; j ++ ) 
        {
            st[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    get_prime(n + 1);
    if (n > 3) cout << 2 << endl;
    else cout << 1 << endl;
    for (int i = 2; i <= n + 1; i ++ ) 
        if (!st[i]) printf("%d ", 1);
        else printf("%d ", 2);
}

　　196. 质数距离

题目：

给定两个整数

同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数

输入格式

每行输入两个整数

输出格式

对于每个

结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）

如果

数据范围

输入样例：
2 17
14 17
输出样例：
2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

分析：

将L到R的合数筛出来，用st[i - L]表示

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000010;
int p[N], cnt;
bool st[N];
bool vis[N];
void init()
{
    for (int i = 2; i <= N; i ++ ) 
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; p[j] * i <= N; j ++ )
        {
            st[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int w[N];
int main()
{
    init();
    // for (int j = 0; j < cnt; j ++ ) cout << p[j] << " ";
    // cout << endl;
    int l, r;
    while (cin >> l >> r)
    {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
        {
            ll pp = p[i];
            for (ll j = max(2 * pp, (l + pp - 1) / pp * pp); j <= r; j += pp )
                vis[j - l] = true;
        }
        int tot = 0;
        for (int i = 0; i <= r - l;i ++ )
            if (!vis[i] && i + l >= 2)
                w[tot ++ ] = i + l;
        if (tot < 2) puts("There are no adjacent primes.");
        else 
        {
            int mi = 0, mx = 0;
            for (int i = 0; i + 1 < tot; i ++ )
            {
                int d = w[i + 1] - w[i];
                if (d < w[mi + 1] - w[mi]) mi = i;
                if (d > w[mx + 1] - w[mx]) mx = i;
            }
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", w[mi], w[mi + 1], w[mx], w[mx + 1]);
        }
        
        // for (int i = l; i <= r; i ++ ) 
        //     cout << vis[i - l] << " ";
        // cout << endl;
        // int start = l, last = l;
        // int a = 2e9, b = -2e9;
        // for (int i = l + 1; i <= r; i ++ )
        // {
        //     if (!vis[i - l] && !vis[start - l] && a > i - start + 1)
        //     {
        //         a = i - start + 1;
        //         start = i;
        //     }
        //     if (!vis[i - l] && !vis[last - l] && b < i - last + 1)
        //     {
        //         b = i - last + 1;
        //         last = i;
        //     }
        // }
        // // cout << a << endl;
        // if (a == 2e9) puts("There are no adjacent primes.");
        // else printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", start - a + 1, start, last - b + 1, last);
    }
}

分解质因数　

197. 阶乘分解

题目：

给定整数

输入格式

一个整数

输出格式

数据范围

1≤N≤106

输入样例：
5
输出样例：
2 3
3 1
5 1
样例解释

分析：

求N！中质因子p的个数，那么我们知道在1~N中，有N / p个p的倍数，有N / (P ^ 2)个p^2个质因子。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n;
int p[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) p[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; i * p[j] <= n; j ++ )
        {
            st[i * p[j]] = true;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;    
    get_primes(n);
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
    {
        int s = 0, pp = p[i];
        for (int j = n; j; j /= pp)
        {
            s += j / pp;
        }
        printf("%d %d\n", pp, s);
    }
}

快速幂

1289. 序列的第k个数

题目：

BSNY 在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。

现在给你整数序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第

如果第

输入格式

第一行一个整数

对于每组测试数据，输入前三项

输出格式

对于每组数据，输出第

数据范围

输入样例：
2
1 2 3 5
1 2 4 5
输出样例：
5
16

分析：

等差数列：a + c = 2 * b

等比数列：a * c = b * b

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 200907;
ll qmi(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
ll a, b, c, k;
int main()
{
    int T; cin >> T;
    while (T -- )
    {
        cin >> a >> b >> c >> k;
        if (a + c == b << 1)
        {
            ll d = b - a;
            cout << (a + (k - 1) * d) % mod << endl;
        }
        else 
        {
            ll q = b / a;
            ll ans = a * qmi(q, k - 1) % mod;
            cout << ans << endl;
        }
    }
}

1290. 越狱

题目：

监狱有连续编号为

有

如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。

求有多少种状态可能发生越狱。

输入格式

共一行，包含两个整数

输出格式

可能越狱的状态数，对

数据范围

输入样例：
2 3
输出样例：
6
样例解释

所有可能的

分析：

容斥，将全集减去合法集

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 100003;
ll qmi(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
ll n, m;
int main()
{
    cin >> m >> n;
    cout << (qmi(m, n) % mod - m * qmi(m - 1, n - 1) % mod + mod) % mod << endl;
}

约数个数

1291. 轻拍牛头

题目：

今天是贝茜的生日，为了庆祝自己的生日，贝茜邀你来玩一个游戏．

贝茜让

除了

农夫约翰用很多纸条装满了一个桶，每一张纸条中包含一个

接着每一头奶牛

所有奶牛都选取完毕后，每头奶牛轮流走上一圈，当走到一头奶牛身旁时，如果自己手中的数字能够被该奶牛手中的数字整除，则拍打该牛的头。

牛们希望你帮助他们确定，每一头奶牛需要拍打的牛的数量。

即共有

输入格式

第一行包含整数

接下来

输出格式

共

数据范围

输入样例：
5
2
1
2
3
4
输出样例：
2
0
2
1
3

分析：

计算每个数在n个数字中出现了多少个他的约数。

那么，我们将每个数字用cnt存起来，将所有合数在n中出现的约数都算出来，然后查表

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n;
int a[N], cnt[N];
int ans[N];
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        cnt[a[i]] ++;
    }
    
    for (int i = 1; i < N; i ++ ) 
        for (int j = i; j < N; j += i )
            ans[j] += cnt[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        printf("%d\n", ans[a[i]] - 1);//多加了一个它自己
    return 0;
}

1294. 樱花

题目：

给定一个整数

输入格式

一个整数

输出格式

一个整数，表示满足条件的数对数量。

答案对

数据范围

输入样例：
2
输出样例：
3
样例解释

共有三个数对

分析：

这个题，重点就是对数学公式的推导，需要手推出来，才能看出来性质。

推导省略了，详看AcWing

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005, mod = 1e9 + 7;
int n;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j ++ )
        {
            st[i * primes[j]] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    long long ans = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
    {
        int p = primes[i];
        int s = 0;
        for (int j = n; j >= 1; j /= p) s += j / p;
        ans = ans * (2 * s + 1) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

198. 反素数

题目：

对于任何正整数

如果某个正整数

例如，整数

现在给定一个数

输入格式

一个正整数

输出格式

一个整数，表示不超过

数据范围

输入样例：
1000
输出样例：
840

分析：

这里的代码还是要看以前的提交的，DFS还是不行，这时硬伤

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
ll mx, num;
ll n;
void dfs(ll u, ll last, ll val, ll cnt)
{
    // printf("u = %lld, val = %lld, cnt = %lld\n", u, val, cnt);
        if (cnt > num || (cnt == num && val < mx))
        {
            mx = val;
            num = cnt;
        }
    if (u == 9)
        return;
    for (int i = 1; i <= last; i ++ )
    {
        if (val * a[u] > n) break;
        val *= a[u];
        dfs(u + 1, i, val, cnt * (i + 1));
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    dfs(0, 30, 1, 1);
    cout << mx << endl;
    return 0;
}

200. Hankson的趣味题

题目：

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。

现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数

现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：

已知正整数

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数

但稍加思索之后，他发现这样的

因此他转而开始考虑如何求解满足条件的

请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

输入第一行为一个正整数

接下来的

输入数据保证

输出格式

输出共

每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的

若存在这样的

数据范围

输入样例：
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出样例：
6
2

分析：

将b1所有约数求出来，然后枚举判断是否合法，同时DFS还是不行，这里的的FS需要看原来的代码才写出来的

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100006;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
ll a0, a1, b0, b1;
PII divi[100];
int tot;
int dv[N], ct;
void get_primes()
{
    for (int i = 2; i <= N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= N; j ++ )
        {
            st[i * primes[j]] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
void dfs(int u, int p)
{
    if (u > tot)
    {
        dv[++ ct] = p;
        return;
    }
    for (int i = 0; i <= divi[u].y; i ++ )
    {
        dfs(u + 1, p);
        p *= divi[u].x;
    }
}
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b)
{
    return 1ll * a * b / gcd(a, b);
}
void work()
{
    cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
    ll t = b1;
    tot = 0;
    for (int i = 0; primes[i] <= t / primes[i]; i ++ )
    {
        int p = primes[i], s = 0;
        if (t % p == 0)
        {
            while (t % p == 0 ) s ++, t /= p;
            divi[++ tot] = {p, s};
        }
    }
    if (t > 1) divi[++ tot] = {t, 1};
    
    ct = 0;
    dfs(1, 1);
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= ct; i ++ )
    {
        int x = dv[i];
        if (gcd(x, a0) == a1 && lcm(x, b0) == b1) res ++;
    }
    printf("%d\n", res);
}
int main()
{
    int T; cin >> T;
    get_primes();
    while (T -- )
    {
        work();
    }
    return 0;
}

posted @ 2021-07-22 22:36 rookie161 阅读(310) 评论(0) 编辑收藏举报

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AcWing算法提高课 数学知识

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例1：

输出样例1：

输入样例2：

输出样例2：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

1≤N≤106

输入样例：

输出样例：

样例解释

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

样例解释

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

样例解释

输入格式

输出格式

数据范围

输入样例：

输出样例：

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数据范围

输入样例：

输出样例：

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