树状数组

树状数组

一.为什么需要树状数组?

举一个简单的例子，假设有一个数组

我们需要实现两个功能:

​ 1.计算数组任意X~X+N项元素的和

​ 2.能够动态的增删改节点

有两种解决方法:

1.将数组直接存储下来

​ 此时,求X~X+N的和时间复杂度是O(N)

​ 修改并维护数组的时间复杂度是O(1)

2.使用前缀和数组

​ 此时,求X~X+N的和时间复杂度是O(1)

​ 修改并维护数组的时间复杂度是O(N)

以上两种方法都是各有缺陷，树状数组能够将这两个操作都维持在O(logn)的时间复杂度

二、Lowbit函数

lowbit是指一个整数的二进制表示，从后往前第一个１所代表的大小

​ 例如 3 = 011 那么3的lowbit为１

　　 6 ＝0110 6的lowbit为10 = 2

lowbit有一个很简单的求法: X & -X

树状数组的所有操作都是基于lowbit()函数

二.算法模拟

3.1 插入或更新元素

当我们需要插入或更新某一位置的元素时，需要从这个位置开始，依次更新到树根中所有元素

设数组总长度为8，初始状态全为0

以下标为2的元素加5为例，初始化pos = 2

要时刻保证 pos <= length

１．A[2] + 5　　       0＋5＝5
２．pos += lowbit(2)   pos = 4
３．A[4] + 5        　 0＋5＝5
４．pos += lowbit(4)   pos = 8
５．A[8] + 5    　     0＋5＝5
６．8号已到达数组末尾，更新结束

添加后

1	2	3	4	5	6	7	8
0	5	0	5	0	0	0	5

3.2 查询

查询0~pos之间的和

以求A[3] - A[5]的值为例，先求出A[0]到A[3]的和sum1，在求出A[0]到A[5]的值sum2，最后sum2-sum1即为结果

以求A[0]到A[5]的和为例，初始化ans＝０，pos = 5

１．ans += A[pos]       pos = 5    ans = 0
２．pos -= lowbit(5)    pos = 4    ans = 5
３．ans += A[pos]       pos = 4    ans = 5
４．pos -= lowbit(5)    pos = 0    ans = 5
   
sum1 = 5

三. 代码

void lowbit(int x)
{
  return x & (-x);
}

void add(int pos, int val)
{
  for(; pos < n; pos += lowbit(pos))
    val += tree[pos];
}

int query(int pos)
{
  int val = 0;
  for(; pos; pos -= lowbit(pos)) val += tree[pos];
  return val
}