从1开始的数论

套路题 反套路题

基础概念：
1.整除 n=qm 则 m|n 约数 倍数
2.1 对于正整数 a, b，若正整数 d 满足 d | a 且 d | b，则称 d 是 a 和
b 的公约数。
2.2 a 和 b 最大的公约数称为 a, b 的最大公约数，记作 gcd(a, b) 或
者 (a, b) greatset comment divicer
2.3 性质：d 是 a, b 的公约数等价于 d | gcd(a, b)【整数的性质】
2.4 欧几里得算法 最大公约数 辗转相除法（log）
3.gcd（a,b)=1 则 ab互质
4.取整函数 高斯函数 下取整x<=x<下取整x+1
4.1 性质：[[x/a]/b]=[x/ab]成立条件（a,b都是正整数）
4.2 性质：对于正整数n，考虑1<=d<=n [n/d]
可以证明出来:[n/d]可能的取值是不超过2*根下n种
套路：对于正整数n，[1,n]中d的倍数有[n/d]个 我们要多注意这样的特殊点
例题：求和1-n [n/d]
思路：求和的转化（枚举每个i显然发非常蠢，我们可以转化，发现性质：每一个[n/d]这些一定是对应的d是一段区间 所以说按照区间来做

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; )
    {
        ll t = n / i, j = n / t;
        ans += (j - i + 1) * t;
        i = j + 1;
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

 

https://app.xunjiepdf.com/pdf2ppt/
2.1调和数：Hn = 1/k 的前n个和
2.2 Hn = ln n +y +o(1）(小量）
2.3对于1-n 里面的 d 的枚举倍数 复杂度 nlogn

3.素数
3.1 算数基本定理：任何一个n都可以表示成素数的乘积，且分解唯一【互素等价于没有相同的质因子】
3.2求素数：枚举每个数的最小质因子（线性筛法，欧拉筛）
3.3 素数计数函数 π(n)表示不超过n的素数个数 则π(n) 约等于（渐进意义上,n取正无穷时） n/ln n
3.3.1 推论 n附近的素数密度近似时 1/ln n
3.3.2 第n个素数的大小约为 nln n
3.3.3类似积性函数的算法求

4.数论函数
1.定义域为正整数，值域是复数的函数
1.1若（a,b)=1,都有f(ab)=f(a)*f(b) 则f是积性函数
若任意正整数ab都有 f(ab)=f(a)*f(b) 则f是完全积性函数
1.2研究积性函数则就是研究f（p^a)来研究
1.3 求值：求f(n),对于n分解质因子，然后把所有的f(p^a)乘起来
若要求出[1,n]的f，求出每个数的最小质因子和幂次就可以了

5.单位函数
1.e(n)=[n=1] 1,n=1,0,n!=1 [condition]表示condition为真时取值为1，否则为0的函数（完全积性函数）

6.除数函数
1.表示n的因子的k次方之和 Σ(d|n) d^k 表示对n的所有约数求和
2.k=0 时是约数个数 成为 d(n) k=1 的时候记为 bulabula(n)
除数函数都是积性函数：
约数个数：分解后为 （1+a1)*)(1+a2)... 各个素因子的贡献独立

7.欧拉函数 φ(n)表示 1-n 和 n互质的正整数的个数
1.由n的分解，加上容斥原理来求解
φ(n)=n - n/p1 -n / p2 .... 容斥原理（剪多了
=n(1-1/p1)(1-1/p2)...
=(p1^a1-1(p1-1))*(p2^a-1(p2-1))..
也就是每个质因子要单独考虑 独立性 所以是积性函数
【积性函数都有独立性】
2.n=Σ(d|n) φ（n);

证明 （n,i)=d, 那么（n/d,i/d)=1 i/d<=n/d 所以这样的i一共有φ(n/d)个
所以考虑所有的d|n 也就考虑了 1-n 的所有整数
由此 n=Σ(d|n)φ（n/d) 要注意 d和n/d 再某种意义上遍历过程是等价的，只不过是顺序相反而已
以6为例

8.dieichlet 狄利克雷卷积
1.设f,g是数论函数 h(n)=Σ(d|n)f(d)g(n/d)
h = f * g;【是函数一卷卷出来另一个函数，也就是两个函数的值】
2.单位函数是狄利克雷卷积的单位元 也就是 e*f=f*e=f
3.满足交换律和结合律 （d和n/d的相对性）
证明结合律：考虑求和变换顺序
4.若f，g都是积性函数 则f*g也是积性函数【保持了元素因子独立的特性】
5.许多关系可以用卷积来表示 1表示为1的常函数
6.idk（n)=n^k,id1=id(n的取值就是n）
7.除数函数：西格玛k=1*idk
8.欧拉函数 id=φ*1
9.f，g是数论函数，计算f*g需要枚举n的所有约数
算前n项，枚举1-n的每个数的倍数 o nlogn 一般
10.技巧：按照最大公约数来分一下类

 

 

 预处理μ，按照[n/d][m/d]来分别分段（会分成跟下n个区间）如果有一个变化就跳

【经典套路】：gcd除进去，找gcd(a/b,d/b)=1;

P2303

9.mobius函数 μ(n)
μ（1）=1；n=p1*p2*..pn(n为不同的素数）否则的话 μ(n)=0
1.在n没有平方因子的时候就不是0，并且μ是极性函数【如果两个的质因子两辆不同，则答案不变】
2.性质 Σ(d|n) μ(d) = e(n)； μ * 1 = e；证明如下

3.证明 n=1的时候显然成立 不等于1的时候，且d无平方因子才会有映像.

 

 欧拉函数和莫比乌斯函数的关系

 

 

10.mobius变化
f是数论函数： g(n)=Σ（d|n) f(d); 则称g是f的莫比乌斯变换，f是g的莫比乌斯逆变换 也就是g = f * 1

由莫比乌斯反演定理可知：上式的充要条件是f(n)=Σ(d|n)μ(d)f([n/d]）//这里要注意的是因为特殊点的可逆性，所以这里前后的d和n/d是可以相互交换的

反演可知 g=f*1=f*e=f*1*μ=f*μ       

 

 

2.应用：用卷积解决一些列求和，替换表达式的一部分，然后调换求解顺序【这个时候就是为了化简几重变量
常用 μ*1=e id=φ*1
【经典问题：使得gcd(x,y)=1,互质的xy有多少组 如果d|gcd(x,y) 则d|x,d|y

莫比乌斯反演的普通定义：

 

 

 

 

11.指标函数 令 f(n)=[n∈P（质数）] 且 g(n)=Σ(p∈P,p|n) μ（n/p)
那么就会有 g = f * μ【也就是把条件挪到求和的里面去就可以了

 3327（约数个数和）
结论： d(ij)=Σ（x|i)Σ（y|j)[gcd(x,y)=1] i=p1^a1... j =p1^b1... 则d(ij)=(1+a1+b1)(1+a1+b2)..
假设 x=p^a y=p^b 那么就有 d（xy)=(1+a+b)
1.我们可以构造一个映射 (x,y)=1 [也就是说 x=1 y=1；x=p^k y=1；x=1 y=p^k]
d = x*j/y