高级数据结构

一.对于数据结构题目的基本介绍

1.数据结构问题：没有高级低级之分，只有好不好用，该选择什么 简称为DS

2.一般数据结构题n,m不大于10e5(一般是需要O（nlogn） 当读入的规模达到 10e6的时候，最好时候fread优化

https://blog.csdn.net/weixin_30755709/article/details/95250556?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-baidulandingword-1&spm=1001.2101.3001.4242（各种读入优化和比较 ）

 

二.前置知识

1.基本方法：前缀和 差分 离散化 离线（也就是把问题存下来） 二分（单调性，可选性） 倍增永 双指针 标记久化（就是计算所有

2.基本数据结构：线段树（特定属性） 树状数组（维护高维） st表 单调队列 单调栈 并查集

3.求lca 两种 3.1O(n) -O(longn)【树链剖分】（倍增太慢了） 3.21O(nlongn)-O(1)（动态点分支）把lca转成rmq的问题 dfs序【字数标号，结合书链剖分】和链差分

 

三.各类数据结构介绍

一.线段树：对序列递归的求重点形成两部分的分治树，任何以单点为基本单位的分治树都可以适配到任何区间，区重点保证树高为（logn）切合并所有被完整包含的极大区间就可以得到目标区间

【补充：log级别数据结构 ->都是分治树（也就是左右不一定平衡）】

建线段树 然后把右儿子来储存（把长度扩展乘2的幂）BIT（也就是不需要任何右儿子的节点）

2.差分：等差数列可以二级差分：也就是可以区间加一个数，然后查询区间和（就可以使用树状数组来实现）

3.双指针（也叫尺取法）：区间上本来的套路是枚举左端点，加上合法的右端点的数  也就是说左端点是单调的

4.单调队列：后面插入元素，删除最前面的元素，求序列元素的最小值，【也就是队尾更大的元素不再产生贡献，可以直接删去，】可以结合双指针使用（也就是根本不需要维护这个序列）【把两个指针堪称序列】

给一个序列和数l，对所有长度为l的区间，分别求出区间最小值

5.单调栈：经典问题：对序列a和下标i，求出ai之后第一个大于ai的元素的下标【也就是以ai为最大值的极大区间

 

二.并查集：性质如下

1.维护不相交集合，通常使用路径压缩策略，也就是指压缩一半的路径  DSU

2.按质合并是严格的

3.也有带权的并查集，维护点权查，可以用取模后的权值差来分类(有的时候可以用LCT）

反转时间：给一张图，每次操作一个点，求连通块：倒着处理，插入变删除，用并查集

【翻转思想】如果可以离线的话，我们可以吧删除边插入，插入变删除 强制在线就算了吧

【倒序思想】：面对之后的问题，我们思考是不是可以通过逆序等价或者相反的操作得到等价的答案

 

 

 

P3369（baozi题）

treap支持操作（维护集合，没有顺序关系）

1.支持操作：插入x，删除x，查询小于x的数的个数，查询第k小的数

二叉搜索树：每个节点都有一个关键字，左边都比他小，右边都比他大【中序遍历单调不降】BST

平衡树;深度为O（logn）的二叉搜索树 splay（自适应二叉搜索树）treap（期望的二叉搜索树） AVL 红黑 替罪羊树

TREAP：给每个节点随机分配一个权值，调整树的形态满足堆性质 期望深度

1.哨兵节点：c++作为叶子结点儿子的虚节点（设置为虚节点，更新就爆炸了）哨兵节点size=0，ccnt=0，更新它也没有任何问题【维护序列可能要在序列两端各放一个】原本需要特殊分配

数组名字可以转化为首地址的指针，也就是建一个哨兵节点的名字的数组，全局变量会被值初始化为0，这样哨兵节点就不需要初始化。用一个last节点来分配空间

【补充：加入你要初始化数组的首元素，一定要在main里面初始化】std也不要

2.操作 左旋：把根节点旋转到左边叫左旋 zag 右旋叫zig

 

自己指向右儿子的左子树，右儿子的左子针改为它，那么他就会被旋上来了（这里要引用要更新）

和平衡树的区别就是多了一个本节点自己的信息

2.初始化：一般可以直接写列表，构造函数麻烦死掉了

【补充说明 rand】注意一下:windows里面的rand一般只有1-32767（有的时候也可以写一些更快的的手写rand，也就是没有那么随机

2.1 保证随机的写法：rand*（RAND_MAX+1)+rand（）或者说rand（）*rand（）

【补充 RAND_MAX】RAND_MAX是C中stdlib.h中宏定义的一个字符常量：

#define RAND_MAX Ox7FFF

其值最小为32767,最大为2147483647

通常在产生随机小数时可以使用RAND_MAX。

所以用double 转换然后再加１　防止溢出

((double) rand() / ((double) RAND_MAX + 1)

不能用加完再类型转换　已经丢失了精度

【有的时候可以使用懒惰删除【红黑树直接写个c=0】】treap懒惰删除不大

【也就是treap可以直接加树状数组啥的】

 

三：权值线段树 ：

设cx为x的出现次数，建线段树维护c的前缀和，由于c的下标是权值，所以这样的线段树通常称为权值线段树

 

四.treap

1.相当于说插入一个x就是cx+1，这个时候就可以用权值线段树来写

2.求第k小，就可以使用线段树二分：也就是在分治树上自顶而下的移动

（处理左儿子的size出现次数合，大于往左，小于往右）【线段树可以动态开点，但树状数组必须离散化；

3.一定要写一下两次二分【查k小的题目，都是和左边儿子的size有关【也就是甚至每个节点存储他左二子的size但不存储自己的size】】

4.动态开点：没有点，不建树，修改到不存的点再创建，或查询到不存在就可以直接算出来【适用于无法离散化的情况】（每次最多创建O（nlogw），w是值域范围【平衡树空间更简单】【线段树做一些区间打标记的操作更简单】

 

 

 

5.维护序列：

5.1.指定位置的插入和删除（分裂合并线段树，除此线段树就一般做不了）

5.2 区间染色（珂朵莉树和OTD可能会卡掉） 5.3 翻转区间 5.4 求区间和 5.5 求整个数列的最大字段和【改成区间也是一样的】

维护序列：合并两个区间的最值区间，只有两种情况：位于某一个区间内，或者横跨两个区间；维护后缀信息：左右子树就可以合并；【历史最大值】【再维护最大前缀和后缀】

所以我们维护的其实是一个有序表（原则：能一个log作的没有必要用一个根号作）

解法：块状链表（没什么用）

 

6.SPALY：伸展：使最后一个被访问的节点为根节点

复杂度：总复杂 O(nlogn） 均摊为O（logn）

1.旋转操作：四种旋转操作，判断和父亲节点和爷爷节点的关系是否相同【也就是它的常数是非常大的】

zigzig和zigzag写的时候可以精简代码【找一个LCT的板子然后后求一个SPLAY】

2.正常是自底向上splay（x向上，也就是要把x向上的点的标记要全部pushdown）（也可以自顶向下splay

【凭自己的splay找个baozi】

3.splay作区间的题目，先splay到根，再把后继splay到后继的根，（也就是形成一个完整的树或者空树）

treap难以O（n）建树，所以一般一个一个插

 

7.无旋treap

【所有二叉都可以分裂（相当于把左子树和右字数拆开）【合并必须一个树的所有关键字都要比另一个树的关键字小】，但是treap可以合并（维护堆性质）复杂度并不会改变，也就是插入和删除都可以用分裂和合并来实现】

插入：找个x位置分类，x位置单独建树来三个树来合并；（可以维护序列，完全递归实现，无旋，FHQ，可持久化treap，函数式treap）

【也就是序列维护的是维护下标，但是下标是动态的，我们相当于是通过szie来维护相对的下标】

【一个树的中序遍历就是对应的相关区间】

 

 

8.翻转区间：交换根的左右子树，然后反转左右子树的相对区间（打反转标记就可以）

 

 

总结一下：使用数据结构 的其中一个技巧是要观察所储存的数据的性质，看一看是否可以进行合并，如果不能的会就需要分别储存更多的二级数据或者换一种数据结构

【数据结构的熟练是非常重要的】P2042 模板题

：常数treap《splay《无旋 

1.splay维护有序表效率比较低，实现不方便（节点少的时候更慢【维护有序表更慢】

2.splay常用于LCT或者维护序列

3.无旋treap可以维护序列实现可持久化【简单来说，就是可以保存历史版本的数据结构】

最麻烦的：树上问题，熟练度

 

 

三.高维问题：

1.1 维度的问题：操作位置有限制，就有位置轴，权值限制，就是权值轴，儿操作的顺序限制，就有时间轴；

位置和权值轴没有本质区别

 

1.2时间轴变化：P3755 二维数点 将某一轴视为时间轴，按照时间顺序插入，【也就是某一个矩形可以拆成四个矩形】，将前缀查询转化为某个时间上降维

 

1.3本质降维：

1.离线扫描：将所有的询问和数据集合按新的时间轴排序（也就是所谓的扫描线）

2.在线：可持久化，查询历史版本（如果支持历史版本修改就是完全可持久化），方法一般是path copying【一次新建一条链，空间O（nlogn)；

【也就是再修改的时候吧新建的点复制一个全新的点出来，如果说这个点修改了，那么复制的点指向的也是他的对应的儿子，但是原先的节点的儿子仍旧是一样的，因此就可以做到可持久化；函数式：原本的不能修改；常用于保存动态的插入元素的求解;如果可以修改历史版本，就可以保存树形的插入过程：【求链k小】

fat node：每一个点开一个动态表，在上面查询时间戳；

【也就是能将维就一定要降维，除了我们需要

P1972\4113 不同的数的个数：本身不可以合并（基本的原则：可以用log不用根号）都是维护前驱；

 

三维数点：1.P3810 也就是查一个三维的前缀和，三维偏序【分cdq分治】如果说时间轴没有给出卫视通过时间轴变化的过程，那么一定是可以离线的

2.树套树：维护某一维的基本方法是分治树：分显式和隐式的；

树状数组不能套树状数组：（也就是树状数组二维也得离散化，没有什么实用性）

1.1树状数组套平衡树 空间O（nlogn)

 

3.常说的分治使用的是隐式的分治树

（也就是说所有的细节都需要自己来考虑）

CDQ分治：通过分治维护时间堆：把询问分成两半，求解前一段对后一段的贡献【也就是每一次都可以加上左边的一段】【找个baozi】通常查询时间前缀，也可以做到查询时间区间（实现比较繁琐）】【时间维排序下来是一定需要离线的了】

 

4.整体二分

：用分治维护需要二分的维度，在分治树上二分；k小这个东西可能需要二分（如果套平衡树的话就很麻烦）

 

5.分治树的组合：

1.树桩数组套平衡树：空间 O(n log n)，效率一般【好写，在线】

2.【所谓的带修主席树】树状数组套线段树：空间 O(n log2 n)，效率一般，各线段树可以同时二分

线段树套树：支持不可减外层信息

分治套树状数组：离线，空间 O(n)，效率很高，可以在隐式分治树上二分【隐式的好处是你没有必要所有东西都全部存储下来，都是用完就扔的】【不直观】

分治套线段树：离线，空间 O(n)，效率较高，支持较复杂的操作【常规的线段树信息，用分治搞掉外面那一维】

树状数组套压缩 trie：空间 O(n log n)，实现难度较大

“重量”平衡树套树：支持外层插入，实现难度较大

【待修改的题目本身就是不代修改的题目进行时间变换过后的结果】【也就是我们需要确定要维护的维度】

 

6.KDT 树：查询圆上最小值 维护k维空间的信息 O（n^1-（1/k))空间O（n）并且支持高维标记 不能剪枝的时候常数巨大；【平衡树上修改区间】

【总结：对于某些高维的问题，不妨将其转化成三维，二维的数点模型就可以了】

 

 

根号方法：

 

1.莫队：

1.操作：每次给出l和r求有多少个ij是相等的（n根号m)[是可以基数排序的，一般用sort就可以】(mlogm的排序一般是没有关系的）

2.概念：将序列分15:33:45块，询问将左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字来排序，一次处理询问【离线】，维护一个空的区间（l=1,r=0,左端点大于右端点），每次插入或删除相应的区间【每次按序】

3.块的大小

P1494 #理解下来，在不断插入的过程中，每插入一个都会合之前已有序列中同样数字的个数形成有序对，答案直接++并且移动断电就可以了 ：步骤就是转移端点，插入，计算贡献就可以了

4.时间复杂度：【因为是排序过后的】设块的大小为l，则左端点移动不超过ml+2n，右端点不超过2n（n/l也就是块的个数）那么最优的复杂度为O（n根号m）此时l=n/根号m取最大值

【排序可以按照奇偶性来排序，这样同时或许可以节省右端点左移一倍的常数】

5.简单的分块：块的大小直接用 bsize =n/sqrt(m*2/3);理论上是最优的 块的个数是：根号m

6.曼哈顿最小生成树也会使用这样

7.回文莫队：无法进行删除操作，可以只从某个块的左端点（分类），某个块的左端点开始维护区间，右端点单调移动，只在有段插入，移动到每个询问的右端点（相当于右边已经搞完了）再重新把第i块插入，然后再撤销左端点插入；【每一个询问都插入再撤销】但是要支持从两端插入

简单查询：一般都是log-log ，根号log是非常慢的 O(根号n）-O（1）或者O（1）-O(根号n）可以进行转化

1.序列单点修改 区间和 （转化为块前缀和以及根号个块的块内前缀和作一个前缀和）【暴力修改两个前缀和】 n-1

块维护一个块内的和 查询所有的前缀块+块内的暴力查询

【本质上是在块内和块外把他转化为常数个，对于分块而言，基本上就是讨论在块中，块外，块左，块右之间的联系】

2.序列区间加 ： 每一个区间加可以分成左边（部分） 右边（部分） 中间多个块打标记 统计的时候加标记

3.集合插入

1-n 维护数的出现次数 按照权值分块 暴力查询k小（块内一个一个枚举）