高斯消元法

高斯消元法

心情不好，来写博客...

思想

一种通过消元求解线性方程组的方法，时间复杂度为 \(n^3\)

和普通的消元法无二，选定一个自变量为主元，将一行的主元系数化为一，再通过乘法消去其他行含有该元的项。

实现细节

for(int j=0;j<n;j++){
	int t;
	for(t=curi;t<n;t++)
		if(fabs(a[t][j])>eps)break;//对于浮点形的运算，一般定义小于一个常数就算是0了，这个常数视情况一般是1e-6
	if(t==n)continue;//主元 not found，no sulution
	for(int i=j;i<=n;i++)
		swap(a[t][i],a[curi][i]);
	for(int i=n;i>=j;i--)//这里要反着来，因为a[curi][j]的值还会用到
		a[curi][i]/=a[curi][j];
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(i!=curi)//本行不需要继续修改
			for(int k=n;k>=j;k--)
				a[i][k]-=a[curi][k]*a[i][j];//同样的原因
	curi++; 
}

拓展

容易发现，xor的运算也有同样的消元性质 \(a\oplus b \oplus b=a\)

因此可以利用高斯消元解异或方程组 模板题见外星千足虫。

异或方程组也就是

\(\begin{cases} a_{1,1}x_1 \operatorname{xor} a_{1,2}x_2\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}a_{1,n}x_n &\equiv b_1 \pmod 2&&(1)\\ a_{2,1}x_1 \operatorname{xor} a_{2,2}x_2\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}a_{2,n}x_n&\equiv b_2 \pmod 2&&(2)\\ \cdots&\cdots&&\cdots\\ a_{m,1}x_1 \operatorname{xor} a_{m,2}x_2\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}a_{m,n}x_n&\equiv b_m \pmod 2&&(m) \end{cases}\)

for(int i=1;i<=n;i++){
	now=i;
	while(now<=m and !a[now][i])
		now++;
	if(now==m+1){
		printf("Cannot Determine");
		return 0;
	}
	ans=max(ans,now);
	if(now!=i)
		swap(a[now],a[i]);//怎么好像变简单了？因为异或的次数只有1和0，那么可以略过系数化为一这一步了
	for(int j=1;j<=m;j++){
		if(j==i)continue;
		if(!a[j][i])continue;
		a[j]^=a[i];
	}
}