数论分块

数论分块

数论分块就是一个小结论

对于一个常数n，和一个给定的数i(\(i <n\))，能使

\[\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{j}}\rfloor \]

的最大整数j(\(i\le j\le n\))为\(\lfloor{\frac{n}{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}}\rfloor{}\)

证明:设\(\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor=x\)

先需要证明\(\lfloor{\frac{n}{j}}\rfloor=x\)

一方面

\[jx=\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor x\le \frac{n}{x}\cdot x=n\\ \]

另一方面

\[\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor=x\Rightarrow \frac{n}{i}< x+1\Rightarrow\frac{n}{x+1} < i \le j\Rightarrow \frac{n}{j} < x+1 \]

因此

\[x\le \frac{n}{j} < x+1 \Rightarrow \lfloor{\frac{n}{j}}\rfloor=x \]

又因为

\[j=\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor{}>\frac{n}{x}-1 \Rightarrow (j+1)x>(\frac{n}{x}-1+1)x=n\Rightarrow \frac{n}{j+1} < x \]

因此，当\(j=\lfloor{\frac{n}{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}}\rfloor{}+1\)时不满足条件

所以我们得到了\(\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor\)所在块的右端点\(j=\lfloor{\frac{n}{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}}\rfloor{}\)

好了，我们已经知道了这个结论了，那我们如何使用呢？

数论分块可以计算一些关于\(\sum_{i=1}^nf(i)\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor\)的一些和式问题

我们只需要将数分成多个块，对于每个块，左端点为l，右端点为\(r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}}\rfloor{}\)，这样可以减少时间复杂度。

例题

题意：

[CQOI2007]余数求和

题目描述

给出正整数 \(n\) 和 \(k\)，请计算

\[G(n, k) = \sum_{i = 1}^n k \bmod i \]

思路：

我们可以将\(k \bmod i\)化简一下

\(k \bmod i=k-\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor\)

\[\sum_{i = 1}^n k \bmod i=\sum_{i = 1}^n(k-i\cdot\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor)=n*k-i\cdot\sum_{i = 1}^n\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor \]

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

int main()
{
    ll res;
    n = read();
    ll k = read();
    ll l = 1, r;
    res = n * k;
    while(l <= n)
    {
        if(l > k)
        {
            break; //i大于k时直接结束
        }
        else r = min(k / (k / l),(ll)n);//注意右端点不能超过n！
        res -= (r-l+1) * (k / l) *(l+r) / 2;
        l = r+1;//更新左端点
    }
    cout << res;
    return 0;
}