【40讲系列9】回溯算法、剪枝

一、理论

　　1）首先，使用回溯算法关键是，将问题转化为 【树形问题】。

　　2）回溯的关键点： for循环、 递归。

　　　for循环的作用在于另寻它路，可以逐个选择当前节点下的所有可能往下走下去的分支路径。

　　　递归可以实现一条路走到黑和回退一步，把递归放在for循环内部，那么for每一次的循环，都在给出一个路径后进入递归，继续往下走。

　　3）因此，for循环和递归配合可以实现回溯，所以DFS是最典型的回溯法的应用。

 

　　理论详解及分类经典习题：回溯算法入门级详解 + 练习（持续更新）

二、典型例题

☆☆☆☆①：如何使N个皇后彼此之间不能相互攻击（LC51、LC52）

思路：如果在（i，j）处放置了一个皇后，那么

1. 整个第 i 行的位置都不能放置；

2. 整个第 j 列的位置都不能放置。

3. 如果位置(a,b)满足|a-i|==|b-j|，说明(a,b)和(i,j)处在同一条斜线上，也不能放置。

class Solution {
    // LeetCode 52
    // 参考左神，还可以进一步使用位运算加速
    int res = 0;
    public int totalNQueens(int n) {
        if (n < 1) return 0;
        int[] record = new int[n]; // record[index]表示第index行皇后所在的列数
        help(record,0,n);
        return res;
    }
    private void help(int[] record,int index, int n){
        if (index == n){ // 此时已经确定一种情况
            res++;
            return;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (isVaild(record,index,j)){
                record[index] = j;
                help(record,index+1,n);
            }
        }
    }
    private boolean isVaild(int[] record,int index, int j){
        for (int k = 0; k < index; k++) {
            if (record[k] == j || Math.abs(k - index) == Math.abs(record[k] - j)){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

Note：本题的最优解是使用位运算加速，见【40讲系列11】位运算

 

②：判断数独是否有效（LC36）

M

☆☆☆☆③：解数独（LeetCode37. 解数独）

 

三、扩展例题

第一组（树形问题）：LeetCode17. 电话号码的字母组合、LeetCode93. 复原IP地址、LeetCode131. 分割回文串

第二组（排列问题）：LeetCode46. 全排列、LeetCode47. 全排列 II

第三组（组合问题）：LeetCode77. 组合、LeetCode39. 组合总和、LeetCode40. 组合总和 II、LeetCode216. 组合总和 III、LeetCode78. 子集、LeetCode90. 子集 II、LeetCode401. 二进制手表

第四组（二维平面上的回溯）：LeetCode79. 单词搜索

第五组（Flood Fill）：LeetCode200. 岛屿数量、LeetCode130. 被围绕的区域、LeetCode417. 太平洋大西洋水流问题

第六组（游戏问题）：LeetCode51. N 皇后、LeetCode52. N皇后 II、LeetCode37. 解数独

四、综合练习

题型一：排列、组合、子集相关问题

　　Note：理解为什么有时候用visited数组，有时候设置搜索起点start

• LeetCode46. 全排列
• LeetCode47. 全排列2：思考为什么造成了重复，如何在搜索之前就判断这一支会产生重复；
• LeetCode39. 组合总和
• LeetCode40. 组合总和2
• LeetCode77. 组合
• LeetCode78. 子集
• LeetCode90. 子集2 ： 剪枝技巧同 47 题、39 题、40 题；
• LeetCode60. 第k个排列 ： 利用了剪枝的思想，减去了大量枝叶，直接来到需要的叶子结点；
• LeetCode93. 复原IP地址

题型二：Flood Fill

　　Note：以下问题都不建议修改输入数据，设置visited数组是标准做法。

• LeetCode733. 图像渲染
• LeetCode200. 岛屿数量
• LeetCode130. 被围绕的区域
• LeetCode79. 单词搜素

题型三：字符串中的回溯问题

　　Note: 字符串问题的特殊之处在于，字符串的拼接会生成新对象，因此没有显示【回溯】的过程。但如果用StringBuilder拼接字符串则需要回溯。

• LeetCode17. 电话号码的字母组合
• LeetCode784. 字母大小写全排列
• LeetCode22. 括号生成：本题也可用BFS，可以通过本题理解为什么回溯算法都是DFS，并且都用递归来写。

题型四：游戏问题

• LeetCode51. N皇后：其实就是全排列问题，注意设计清楚状态变量，在遍历的时候需要记住一些信息，空间换时间；
• LeetCode37. 解数独：思路同N皇后问题
• LeetCode488. 祖玛游戏
• LeetCode529. 扫雷游戏