素数筛和质因数分解

素数筛

常用的素数筛有埃式筛和欧拉筛，这里介绍性能更优的欧拉筛

欧拉筛

欧拉筛是一种线性筛，它能在\(O(n)\)的线性时间内求得\(1\sim n\)内所有素数。欧拉筛是对埃式筛的改进。
具体操作步骤如下。
（1）逐一检查\(2\sim n\)的所有数。第一个检查的是2，它是第1个素数。
（2）当检查到第i个数时，利用已经求得的素数去筛掉对应的合数x,而且是用x的最小质因数去筛。

代码

int prime[N];//保存素数
bool vis[N];//记录是否被筛
int euler_sieve(int n){//欧拉筛，返回素数的个数
    int cnt = 0;//记录素数个数
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i = 2;i<=n;++i){//检查每个数，筛去其中的合数
        if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;//如果没有筛过，是素数，记录；第一个素数为2
        for(int j = 0;j<cnt;++j){//用已经得到的素数去筛后面的数
            if(i*prime[j]>n) break;//只筛小于或等于n的数
            vis[i*prime[j]]=1;//用x的最小质因数筛去x
            if(i%prime[j]==0) break;//如果不是这个数的最小质因数，则结束
        }
    }
    return cnt;//返回小于或等于n的素数个数
}

质因数分解

用欧拉筛求最小质因数

在介绍常见质因数分解算法之前，先介绍欧拉筛的一个应用：求\(1\sim n\)内每个数的最小质因数。只要简单修改欧拉筛的代码，直接用vis[N]记录最小质因数就可以。”欧拉筛求素数+最小质因数“代码如下。

int prime[N];//保存素数
bool vis[N];
int euler_sieve(int n){//欧拉筛，返回素数的个数
    int cnt = 0;//记录素数个数
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i = 2;i<=n;++i){//检查每个数，筛去其中的合数
        if(!vis[i]){
            vis[i] = i;
            prime[cnt++]=i;
            }//vis[]记录最小质因数
        for(int j = 0;j<cnt;++j){//用已经得到的素数去筛后面的数
            if(i*prime[j]>n) break;//只筛小于或等于n的数
            vis[i*prime[j]]=prime[j];//vis[]记录最小质因数
            if(i%prime[j]==0) break;//如果不是这个数的最小质因数，则结束
        }
    }
    return cnt;//返回小于或等于n的素数个数
}

用试除法分解质因数

步骤如下：
（1）求最小质因数\(p_1\)。逐个检查\(2\sim \sqrt{n}\)的所有素数，如果它能整除n，就是最小质因数。然后连续用\(p_1\)除n,目的是去掉n中的\(p_1\)，得到\(n_1\)。
（2）再找n1的最小质因数。逐个检查\(p_1\sim \sqrt{n_1}\)的所有素数。从\(p_1\)开始试除，是因为\(n_1\)没有比\(p_1\)小的质因数，而且\(n_1\)的因数也是n的因数。
（3）继续以上步骤，直到找到所有质因数。
最后，经过去除因数的操作后，如果剩下一个大于一的数，那么它也是一个素数，是n的最大质因数。
试除法的复杂度为\(O(\sqrt{n})\)，效率很低，但在算法竞赛中，数据规模不大，所以一般就用试除法。
下面给出试除法的代码。因为试除法的效率不高，所以n用int型，没有用long long 型

int p[20];//p[]记录因数
int c[40];//c[i]记录第i个因数的个数，一个因数的个数最多有三十几个。
int factor(int n){
    int m = 0;
    for(int i = 2; i*i <= n; ++i){
        if(n%i == 0){
            p[++m] = i, c[m] = 0;
            while(n % i == 0)
                n/=i, c[m++];//把n中重复的因数去掉
        }
    }
    if(n > 1) p[++m] = n, c[m] = 1;//没有被除尽，是素数
    return m;//共m个
}