DP 复习

背包

约定使用 \(v_i\) 表示放入第 \(i\) 件物品的花费，\(w_i\) 表示第 \(i\) 件物品的价值，背包容量 \(M\)，物品件数 \(N\)。

01 背包

每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

设 \(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 件物品恰填满容量为 \(j\) 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

\[f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i-1,j-v_i)+w_i\} \]

若放第 \(i\) 件物品，那么问题就转化为“前 \(i-1\) 件物品放入剩下的容量为 \(j-v_i\) 的背包中”，此时能获得的最大价值就是 \(f(i-1,j-v_i)\) 再加上通过放入第 \(i\) 件物品获得的价值 \(w_i\)；
如果不放第 \(i\) 件物品，那么问题就转化为“前 \(i - 1\) 件物品放入容量为 \(j\) 的背包中”，价值为 \(f(i-1,j)\)。

可以用滚动数组优化掉第一维，但注意要逆序枚举容量以达到“每种物品只能取一件”的限制。

for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = m; j >= v[i]; -- j) {
		f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i];
	}
}

若要求 恰好装满，则应将 \(f(1\ldots M)\) 初始化为 \(-\infty\)，因为如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 \(0\) 的背包可以在什么也不装且价值为 \(0\) 的情况下被“恰好装满”，反之，如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 \(0\)，所以初始时状态的值也就全部为 \(0\) 了。

完全背包

与 01 背包相似，但每种物品有无限件。

\[f(i,j) = \max\{f(i-1,j), f(i,j-v_i)+w_i\} \]

可以用滚动数组优化掉第一维，但注意要 顺序 枚举容量以达到“每种物品可以取无限件”的限制。

完全背包的特点是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第 \(i\) 种物品”这种策略时，正需要一个可能已选入第 \(i\) 种物品的子结果 \(f(i, j − v_i)\)，所以就可以并且必须采用 \(j\) 递增的顺序循环。

for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = v[i]; j <= m; ++ j) {
		f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i];
	}
}

多重背包

与 01 背包相似，但每种物品最多取 \(k_i\) 件。

二进制拆分每个物品后跑 01 背包即可。

for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
	cin >> a >> b >> m;
 	for (int j = 1; m - j >= 0; j <<= 1)  //二进制拆分优化
	{
		++ cnt;
		v[cnt] = a * j;
		w[cnt] = b * j;  
		m -= j;
	}
 	if (m)
	{
		++ cnt;
		v[cnt] = a * m;
		w[cnt] = b * m;
	}
}

混合背包

有的物品只有一个，有的物品有无限个，还有的物品有有限个。

缝合怪，把前三种代码缝合起来即可。

二维费用背包

对于每件物品，具有两种不同的费用，选择这件物品必须同时付出这两种费用。对于每种费用都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。

设第 \(i\) 件物品所需的两种费用分别为 \(c_i\) 和 \(v_i\)。两种费用可付出的最大值（也即两种背包容量）分别为 \(C\) 和 \(V\)。物品的价值为 \(w_i\)。

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设 \(f(i,j,k)\) 表示前 \(i\) 件物品付出两种费用分别为 \(j\) 和 \(k\) 时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

\[f(i,j,k) = \max\{f(i-1,j,k), f(i-1,j-c_i,k-v_i)+w_i\} \]

仍然可以滚动数组，按照背包类型确定枚举顺序即可。

有时，“二维费用”的条件是以“最多只能取 U 件物品” 来给出的。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为 1，可以付出的最大件数费用为 U。

另一种看待二维背包问题的思路是：将它看待成复整数域上的背包问题。也就是说，背包的容量以及每件物品的费用都是一个复整数。而常见的一维背包问题则是自然数域上的背包问题。所以说，一维背包的种种思想方法，往往可以应用于二位背包问题的求解中，因为只是数域扩大了而已。

分组背包

有 \(N\) 件物品和一个容量为 \(V\) 的背包。第 \(i\) 件物品的费用是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。这些物品被划分为 \(K\) 组，每组最多选一件物品。

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。

设 \(f(i,j)\) 表示前 \(f\) 组物品花费费用 \(j\) 能取得的最大权值，则有：

\[f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i-1,j-v_k)+w_k\} \]

其中 \(k\) 是组 \(i\) 内的一件物品。

for (int i = 1; i <= K; ++ i)
	for (int j = V; j >= 0; -- j)
		for (int k : group[i])
			// 遍历组 i 的每一件物品
			if (j - v[k] >= 0)
				f[j] = max(f[j], f[j - v[k]] + w[k];

有依赖的背包

其实是树形 DP。

咕咕咕。

泛化物品

在背包容量为 \(V\) 的背包问题中，泛化物品是一个定义域为 \(\{x\in\mathbf{Z} \mid 0\leq x\leq V\}\) 的函数 \(h\)，当分配给它的费用为 \(v\) 时，能得到的价值就是 \(h(v)\)。

如果给定了两个泛化物品 \(h\) 和 \(l\)，要用一定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，这个问题怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用 \(v\)，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于 \([0,V]\) 中的每一个整数 \(v\)，可以求得费用\(v\) 分配到 \(h\) 和 \(l\) 中的最大价值 \(f(v)\)。也即

\[f(v) = \max\{h(k) + l(v - k) \mid 0 ≤ k ≤ v\} \]

可以看到，这里的 \(f\) 是一个由泛化物品 \(h\) 和 \(l\) 决定的定义域为 \(\{x\in\mathbf{Z} \mid 0\leq x\leq V\}\) 的函数，也就是说， \(f\) 是一个由泛化物品 \(h\) 和 \(l\) 决定的泛化物品。

本文所有代码均未经过编译。
大部分参考 崔天翼《背包九讲》。

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