做题记录 26.4.6

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc026_e [AGC026E] Synchronized Subsequence

令 \(dp_i\) 表示第 \(i\sim n\) 对 \(\text{ab}\) 构成字符串的答案，从后往前 \(dp\)，则答案为 \(dp_1\)

若删去第 \(i\) 对，则 \(dp_i\gets dp_{i+1}\)

若保留，且第 \(i\) 对 \(\text a\) 在 \(\text b\) 之前，则为了保证字典序最大，需要删去两者之间所有的 \(\text{a}\)，而显然两者之间所有的 \(\text b\) 编号都 \(<i\) 需要忽略，因此 \(dp_i\gets \text{ab}+dp_k\)，其中 \(k\) 为最小的完全在第 \(i\) 对 \(\text{ab}\) 之后的 \(\text{ab}\) 的编号

若第 \(i\) 对 \(\text b\) 在 \(\text a\) 之前，则需要保留它们之间所有 \(\text b\)，而它们对应的范围中又会包含更多 \(\text b\)，因此不断向后扫（需要忽略其中编号 \(<i\) 的），\(dp_i\gets S+dp_k\)，\(S\) 表示扫到的部分，\(k\) 表示这部分之后第一对 \(\text{ab}\) 的编号

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P13653 [CERC 2020] Pizzo Collectors

先分解 \(n=p^r\)

对于整个序列，按下标 \(\bmod p\) 划分为 \(p\) 个子类，每个子类之间独立

若整个序列相同，容易计算答案，否则答案为每个子序列的答案之和

递归处理即可

时间复杂度 \(O(nr)\)

代码

GYM104713H Pickpockets

求出横向划分后所有段长的集合，若大小超过 \(t\) 则无解

之后需要将 \(t\) 个元素划分为若干子集（允许忽略一部分），使得这些子集长度总和分别对应这些段的长度，且最大化子集的权值和

容易做到 \(O(n+t3^t)\) 或 \(O(n+t^22^t)\)

代码

GYM104666L The Bugs

即求出可能的大小关系，分别讨论一下即可

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

GYM104713K Screamers

一个区间合法当且仅当区间内边不存在环，容易用 \(\text{LCT}\) 对每个左端点求出最大合法右端点

每个询问容易做到 \(O(\log n)\)

总时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc027_d [AGC027D] Modulo Matrix

黑白染色，黑色部分每条主对角线和副对角线各自分配一个不同的质数，每个黑色位置取两条线的质数乘积，白色部分取周围若干黑色格子的 \(\text{lcm}\) 加一

特判 \(n=2\)

显然只需要前 \(2n=1000\) 个质数，都在 \(10^4\) 以内，且每个白色格子为四个质数的乘积加一，至多在 \(10^{16}\) 级别，且这个上界比较宽松，可以过

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc028_b [AGC028B] Removing Blocks

枚举每个区间，考虑其贡献，\(l=1\) 或 \(r=n\) 的与中间的分别计算，可以用任意模数多项式乘法做到 \(O(n\log n)\)

更好的方法：

令 \(d_i\) 表示点 \(i\) 在笛卡尔树（以每个点被删的时间序列建树）上的期望深度，则答案为 \(\sum d_i a_i\times n!\)

令 \(s_i=\sum_{j=1}^i \frac 1j\)，可证 \(d_i=s_i+s_{n-i+1}-1\)

容易做到 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF309E Sheep

二分答案，设目前二分的距离为 \(M\)

从左往右尝试确定每个位置选择的区间，令 \(vs_i\) 表示第 \(i\) 个区间是否已经填上，\(lm_i\) 表示目前第 \(i\) 个区间可以填的最靠右的位置，初始 \(lm_i=n\)

之后依次枚举位置 \(i\)，令 \(c_j\) 表示 \(lm\le j\) 且还没有使用的数量

若存在 \(c_j>j-i+1\)，根据 \(\text{hall}\) 定理必然无解

否则选择最小的满足 \(c_j=j-i+1\)，显然一定存在，在对应的 \(c\) 中选择 \(r\) 最小的，将它填到 \(i\)，并跟新 \(lm\) 即可

时间复杂度 \(O(n^2\log V)\)

代码

参考