做题记录 26.3.31

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc013_d [AGC013D] Piling Up

令 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 次操作后 \(j\) 个红色的方案数，容易 \(O(nm)\) \(dp\)，对 \((n,m)\) 和 \((n-1,m)\) 分别求一遍即可

时间复杂度 \(O(nm)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc013_e [AGC013E] Placing Squares

拆贡献，转化为将 \(1\sim n\) 划分为若干段，每一段中先后选择两个位置，部分位置不能分开，令 \(f_{i,0/1,0/1}\) 表示 \(1\sim i\)，最后一段是否选择第一个位置，是否选择第二个位置，容易矩阵优化到 \(O(m\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc016_d [AGC016D] XOR Replace

令 \(a_{n+1}=\bigoplus_{i=1}^n a_i\)，\(b\) 同理，则等价于每次选择一个位置和 \(n+1\) 位置交换，求最小操作次数

显然若两个数列（加入 \(n+1\) 位置后）的可重集不同则无解，其它情况必然有解，一个构造为用三次操作交换任意两个位置，考虑优化操作次数

假设确定了每个 \(a_i\) 在 \(b_i\) 中对应的位置，得到一个置换，对于其中任意一个置换环，先一次操作使 \(n+1\) 连到置换环上（若 \(n+1\) 本来就在置换环上则无需这次操作），之后每次操作可以使 \(n+1\) 下一个元素独立为自环

从而操作次数为 \(a_i\ne b_i\) 的 \(i\) 数量加上不含 \(n+1\) 的置换环数量，需要最小化后者

建图，\(a_i\) 和 \(b_i\) 连边，则后者等于不含 \((a_{n+1},b_{n+1})\) 的非孤点连通块数量（显然任意一个连通块都存在欧拉回路，从而可以对应一个置换环）

容易做到 \(O(n\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc016_e [AGC016E] Poor Turkeys

令 \(f_{i}\subset [1,n]\) 表示为了保留 \(i\) 而需要间接保留的集合，初始 \(f_i=\{i\}\)，倒序枚举 \((u,v)\)，若 \(u,v\) 都在 \(f_i\) 中则 \(i\) 无法被保留，若其中一个在 \(f_i\) 中则另一个也加入

最后枚举可能被保留的点对 \(i<j\)，若 \(f_i\cap f_j\ne\varnothing\) 则可以被保留

时间复杂度 \(O(nm+\frac{n^3}\omega)\)

代码

参考