做题记录 26.3.29

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc073_a [AGC073A] Chords and Checkered

初始整个圆为白色，之后每次选择一条弦，将弦外侧的一半黑白翻转，求最终黑色连通块的数量

显然黑色连通块分为两类：一类直接和圆心所在块相邻，一类内侧为两条相交的弦，外侧为一段弧或两条相交的弦

第一类必然为黑色，一共 \(n\) 个，每个在一半的方案中出现，总贡献为 \(n\times 2^{n-1}\)

第二类仅在 \(n\ge 3\) 时出现，每两条相交的弦可以唯一确定一个第二类区域，设两条弦分别为 \([a,a+k]\) 和 \([b,b+k]\)，相交部分为 \([b,a+k]\)，则 \([b,a+k]\) 以外的弦选择情况任意，\([a,a+k]\) 和 \([b,b+k]\) 两条必须都选，\([b,a+k]\) 内（定义为有一共端点在其内部）的弦需要恰好选择奇数条，从而若 \([b,a+k]\) 内部存在弦，则在 \(\frac 18\) 的方案中产生贡献，否则不产生贡献，容易统计这部分的贡献

时间复杂度 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc002_d [AGC002D] Stamp Rally

重构树上二分权值，倍增求出可达点数即可

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，精细实现可以做到 \(O(n\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc002_f [AGC002F] Leftmost Ball

特判 \(k=1\) 的情况

假定将得到的序列中 \(n\) 种颜色根据第一次出现的顺序重新标号，显然原问题的答案为转化后的答案乘以 \(n!\)

显然一种合法的配对为第 \(i\) 个 \(0\) 属于颜色 \(i\)

一个序列合法当且仅当 \(n\) 组【第 \(i\) 个 \(0\)，第 \(1\) 个 \(i\)】顺序出现

令 \(f_{i,j}\) 表示放置了后 \(i\) 组，此时前缀 \(0\) 数量为 \(j\) 的方案数

转移考虑枚举第一种颜色的出现位置（不含 \(0\)），容易做到 \(O(n^3+nk)\)

容易前缀和优化到 \(O(n^2+nk)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc006_c [AGC006C] Rabbit Exercise

操作对 \(x\) 的影响是线性的，因此直接维护每个点位置的期望即可，每次对于一个 \(p=a_i\)，令 \(x_p\gets x_{p-1}+x_{p+1}-x_p\)

对 \(x\) 差分，则等价于交换 \(x'_p\) 和 \(x'_{p+1}\)

一轮操作对 \(x\) 的影响相当于置换，显然置换具有结合率，因此可以 \(O(n\log k)\) 求出 \(k\) 轮置换的影响

时间复杂度 \(O(n\log k)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc011_d [AGC011D] Half Reflector

可证一次操作为：若第一位为 A 则翻转之，否则删去第一位，最后加上 B，然后集体 A/B 翻转

显然后缀部分最后必然为 AB 交替，且这部分后缀每进行两次操作则延长一位，从而至多 \(2n\) 次操作后，整个串都 AB 交替，特别地，若 \(n\) 为奇数则第一位字符会在 AB 中 震荡

从而 \(k>n+n\) 时，结果在至多两种情况中震荡，因此可以将 \(k\) 降到 \(O(n)\)

容易 bitset 做到 \(O(\frac{n^2}\omega)\)

显然可以优化到 \(O(n)\)

代码