做题记录 26.3.24

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc003_d [AGC003D] Anticube

消去所有立方因子后，可能冲突的数字两两配对，每一对中选择数量较多的一组即可

容易做到 \(O(\sqrt V+n\pi(\sqrt V))\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc006_f [AGC006F] Blackout

转化为给定 \(1\sim n\) 个点，若 \(x\to y\) 且 \(y\to z\) 则 \(z\to y\)，求最终边数

显然每个弱连通块之间独立，因此分开考虑

对图三染色

若一个弱连通块无法三染色则贡献为 \(n^2\)，其中 \(n\) 为点数

若三染色后三种颜色不全，则贡献为原本的边数

若同时有三种颜色，设三种颜色的点数分别为 \(a,b,c\)，则贡献为 \(a\times b+b\times c+c\times a\)

容易做到 \(O(n+m)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc028_d [AGC028D] Chords

用 \((l,r)\) 表示将环拆分为 \([l,r)\) 和 \([r,n]\cup[1,l)\) 两部分

将 \(2x\) 个空位连 \(x\) 条弦的方案显然为 \(\frac{(2x)!}{2^x x!}\)，容易 \(O(1)\) 计算，记为 \(F(x)\)

对于任意一种固定方案，连通块数量为 \(1+\sum_{1\le l<r\le 2n} C(l,r)\)，其中 \(C(l,r)\) 表示在这种方案中 \([l,r)\) 是否为一个连通块

\(1\) 的部分总贡献显然为 \(F(n-k)\)，枚举 \((l,r)\)，令 \(f(l,r)\) 表示只考虑 \([l,r)\) 内部的情况下 \([l,r)\) 为一个连通块的方案数，令 \(c_2\) 表示 \([l,r)\) 之外的空位数量的一半（若为奇数显然无贡献），则 \([l,r)\) 的贡献为 \(f(l,r)\times F(c_2)\)，显然 \(c_2\) 是容易处理的，问题转化为计算 \(f\)

对于 \(f(l,r)\)，对于 \([l,r)\) 中空位数量为奇数或存在 \([l,r)\) 内到 \([l,r)\) 外的已知边的情况，显然无解，接下来考虑一般情况

容斥，令 \(c(l,r)\) 表示 \([l,r)\) 中空位数量的一半（若为奇数则跳过对应项），则

\[f(l,r)=F(c(l,r))-\sum_{l\le k<r} f(l,k) F(c(k,r)) \]

容易做到 \(O(n^3)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc010_d [AGC010D] Decrementing

以下假定 \(\gcd a_i=1\)

定理 \(1\)：若 \(\sum(a_i-1)\equiv 1\pmod 2\) 则先手必胜

证明：

• 存在 \(a_i=1\) 时显然
• 不存在 \(a_i=1\) 时，若满足条件，则表示此时有奇数个偶数
• 由于 \(\gcd a\ne 1\)，从而还有至少一个奇数
• 此时的先手选择任意一个偶数减一，操作后 \(\gcd a_i\) 仍然为奇数，除以 \(\gcd\) 后为偶数个偶数和至少两个奇数
• 后手选择一个建议，得到奇数个偶数和至少一个奇数，除以 \(\gcd\) 后仍然为奇数个偶数和至少一个奇数
• 由此重复可以达到存在 \(a_i=1\) 的状态，从而先手必胜

接下来考虑不满足此要求的情况，此时先手会尽量让下一步避免此情况

若存在 \(>1\) 个奇数，则当前先手操作后必然还有至少一个奇数，由于不满足前述要求，必然有偶数个偶数，到下一步必然为先手必胜局面，从而当前先手必败

否则若存在 \(1\)，同样先手必败

否则恰好有一个奇数，选择之减一，递归到下一步

显然每次递归所有数字至少除以 \(2\)，从而时间复杂度 \(O(n\log^2 V)\)

代码

参考

NFLS #32250. 平分子集

\(a_{1\sim 30}\) 依次取 \(2^{0\sim 29}\)，\(a_{31}\) 取 \(2^{29}+1\)，剩余的 \(a\) 取接近 \(10^9\) 的值即可，构造子集时贪心地从后往前取即可

代码

NFLS #35447. 和最大的子数组

显然题目中的错误方法计算的是最大连续非负子段和

要使差值最大，显然存在一种最优解使得所有新插入的数都是 \(-1\) 或 \(k\)

由此可以 \(dp\)，令 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑 \(1\sim i\)（加入新增位置后的下标），目前极长非负后缀为 \([j,i]\)（若不存在则 \(j=i+1\)），最大后缀和为 \(k\) 的情况下，历史最大连续非负子段和的最小值

容易做到 \(O(\sum n^3m)\)，需要注意常数

代码

参考