做题记录 26.3.23
\(\textcolor{purple}\odot\) CF241B Friends
用 \(\{a\}\) 建立 \(\text{Trie}\)，二分答案，转化为给定 \(x\) 和 \(M\)，求出 \(\text{Trie}\) 中 \(\oplus x >M\) 的数量和它们 \(\oplus x\) 后的和
前者可以拆分为 \(\text{Trie}\) 上 \(O(\log V)\) 个子树，对于后者，在插入时对于每个子树保存一个长度为 \(O(\log V)\) 的桶，每一个数表示子树内当前这一位为 \(1\) 的数量，则容易 \(O(\log V)\) 求出一个子树内全体数 \(\oplus x\) 的和
时间复杂度 \(O(n\log^3 V)\)
将二分部分和在 \(\text{Trie}\) 上扫的过程结合，可以做到 \(O(n\log^2 V)\)
\(\textcolor{purple}\odot\) CF1779G The Game of the Century
最外层三条边首尾相接时显然无需操作（任意一点都可到达边界，都可从边界到达，而边界上任意两点之间可达）
否则显然同时翻转三个给定字符串，交换三者的顺序都不影响答案，假定 \(s_1\) 和 \(s_2\) 第 \(n\) 位为 \(0\)，\(s_3\) 第 \(n\) 位为 \(1\)
即下方为右到左，左右两侧为上到下
令 \(l\) 为 \(s_1\) 后缀 \(0\) 和 \(s_3\) 后缀 \(1\) 数量的较小值，即上方边长为 \(l\) 的正三角形不含从下往上的边，显然必须翻转 \(l\) 条边，不妨设翻转左侧边缘最上方的 \(l\) 条
左下角同理需要翻转一个前缀，若前缀和后缀需要翻转的长度总和 \(>n\)，则显然只需要翻转整个左边缘
以上翻转过程显然是必要的，可证是充分的
容易做到 \(O(n)\)
\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc054_d [AGC054D] (ox)
将 () 和 ox 两部分分开，前者先贪心地调整为匹配的括号串，可证之后两者内部一定不会发生交换
由此可以 \(dp\)，令 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个 () 和前 \(j\) 个 ox 的答案
时间复杂度 \(O(n^2)\)
\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc057_c [AGC057C] Increment or Xor
存在解的必要条件为 \(\forall 0\le i<2^{n-1}\)，\(a_{i+2^{n-1}}\equiv a_i\pmod{2^{n-1}}\)
若此时 \(a_{0\sim 2^{n-1}-1}\) 的最高位都是 \(0\)，即 \(a_{0\sim 2^{n-1}-1}\) 为 \(0\sim 2^{n-1}-1\) 的排列，显然只能将所有数异或上 \(a_0\)
否则若 \(a_i\)（\(0\le i<2^{n-1}\)）最高位为 \(1\)，则全体异或 \(\overline{a_i}\) 然后加一即可
于是转化为全局加一，全局异或，单点查询的数据结构问题，容易用 \(\text{Trie}\) 解决
显然操作次数不超过上限
时间复杂度 \(O(n2^n)\)
\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc055_d [AGC055D] ABC Ultimatum
对于一个串 \(S\)，令 \(a_i\) 表示 \(1\sim i\) 中 A 的数量，同理定义 \(b_i,c_i\)
定理 \(1\)：合法的必要条件为 \(\max_i(a_i-c_i)+\max_i(b_i-a_i)+\max_i(c_i-b_i)\le n\)
证明：显然 ABC 的数量 \(\ge\) \(\max_i(a_i-c_i)\)，另外两个同理，而 ABC，BCA，CAB 总数量 \(\le n\)
定理 \(2\)：以上条件充分
证明：
- 考虑构造证明
- 令 \(c_A=\max_i(a_i-c_i)\)，\(c_B=\max_i(b_i-a_i)\)，\(c_C=\max_i(c_i-b_i)\)
- 对于第 \(i\) 个
A，取第 \(i+c_B\) 个B（若 \(i+c_B>n\) 则减去 \(n\)，下同），取第 \(i+c_B+c_C\) 个C，显然在环意义上顺序为A->B->C，且恰好 \(n\) 个环 - 即原串可以划分为 \(n\) 个
ABC，BCA或CAB
容易做到 \(O(n^6)\)
NFLS #35479. 永久集市
枚举每条链，若终止状态需要的 B 数量少于当前有的 B 的数量，则将多余的 A 移到链顶端，反之移动 B，所有链都处理后跨越中间点交换每个链链首多余部分，最后在链内部交换
容易做到 \(O(nm)\)
更方便的算法为枚举每条边，删去这条边后存在两个连通块，计算其中一侧初始状态和终止状态 B 数量的差值的绝对值，最后累加，时间复杂度 \(O(nm)\)
NFLS #35481. 海上的小船
对于每一种出现两次的，设两次分别在 \(u,v\)，以 \(u-v\) 的链上某条边为根，子树 \(u\) 到子树 \(v\) 的所有路径都不合法，放到 \(\text{DFN}\) 序上，是 \(O(1)\) 个区间对
转化为若干次矩形覆盖，最后查询没有覆盖的数量，容易扫描线做到 \(O(n\log n)\)
NFLS #35480. 记分板
枚举第一名为 \(i>1\)，检查是否可行
将 \(1\) 和 \(i\) 同时通过的题目放到最前面，对于其它人若在这些题中存在没有通过的，则字典序必然小于 \(1\) 和 \(i\)，从而可以忽略它们
接下来为了保证 \(1\) 小于 \(i\)，紧跟的题目需要满足 \(1\) 没有通过而 \(i\) 通过，且前面剩余的人（即和 \(1\) 和 \(i\) 一样通过了前面所有题）必须都不通过这一题，否则它们的字典序大于 \(1\) 而不合法
还需要存在一题 \(1\) 通过而这些人没有通过，将这一题紧跟在后面，若不存在这样一题则无解（除非不存在剩余的其它人）
容易用 bitset 做到 \(O(\sum \frac{(n+m)nm}\omega)\)
NFLS #35482. 冷藏仓储
假设到一个位置后将那个位置目前所有的都拿到手上，要跨越时再留下一部分
令 \(dp_{l,r,0/1}\) 表示到达过 \([l,r]\)，目前在 \(l/r\)，要达到 \([1,n]\) 的情况下，手上至少要多少
对于一组询问 \((x,y)\)，显然可以达到当且仅当 \(\min(dp_{x,x,0},dp_{x,x,1})\le y+f_x\)
边界为 \(dp_{1,n,0/1}=0\)，考虑如何转移
只考虑 \(dp_{l,r,0}\)（\(dp_{l,r,1}\) 对称）
若向左，则
若向右到 \(r\)，变为 \(dp_{l,r,1}\)，则
化简后第二个转移只和 \(h\) 的区间 \(\max\) 有关，可以做到 \(O(n^2)\)
注意访问连续性
\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc060_e [AGC060E] Number of Cycles
定理 \(1\)：存在解的 \(k\) 的上界为 \(n+f(a)\)，对应的 \(x_i=i\)
证明：
- 若存在 \(x_i\ne i\)，则交换 \(x_i\) 和 \(x_{x_i}\) 后，\(f(x)\) 加一，\(f(y)\) 至多减一，\(k\) 不降
- 反复操作，直到 \(x_i=i\)，则 \(k\) 达到上界
定理 \(2\)：合法的 \(k\) 必须和上界 \(n+f(a)\) 奇偶性相同
证明：
- 对于任意一组合法的 \(x\)，交换 \(x_i\) 和 \(x_j\) 后，\(f(x)\) 和 \(f(y)\) 分别 \(+1\) 或 \(-1\)，从而总和不变，\(+2\) 或 \(-2\)，即奇偶性不变
先令 \(x_i=i\)，考虑不断调整之使得 \(k\) 下降到满足要求
枚举 \(a\) 的每个置换环，依次记录编号得到序列 \(p_{1\sim n}\)
从 \(2\) 到 \(n\) 枚举 \(i\)，要将 \(x\) 中 \(p_{1\sim i}\) 连成一个环，\(y\) 中 \(p_{1\sim i}\) 连成不超过 \(2\) 个环（具体取决于 \(k\) 的奇偶性），令 \(l\) 表示 \(y\) 中 \(p_{1\sim i}\) 中和 \(p_1\) 不在同一环的某个点（若不存在则为 \(0\)），考虑如何处理 \(i\)：
若 \(y\) 中 \(p_{i-1}\) 和 \(p_{i}\) 不属于同一个环，则交换 \(x_{p_{i-1}}\) 和 \(x_{p_i}\)，\(l\) 不变，\(k\) 减 \(2\)
若 \(y\) 中 \(p_{i-1}\) 和 \(p_i\) 在同一个环中，且 \(l\ne 0\)，则交换 \(x_l\) 和 \(x_{p_i}\)，\(l\gets 0\)，\(k\) 减 \(2\)
否则 \(l\gets p_i\)，交换 \(x_{p_1}\) 和 \(x_{p_i}\)，\(k\) 不变
此过程中 \(k\) 的变化在其取值范围上是连续的，满足要求时退出
容易做到 \(O(n)\)
浙公网安备 33010602011771号