做题记录 26.3.21

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2163D2 Diadrash (Hard Version)

若一个区间被另一个大区间包含，则较大者一定不小于较小者，从而可以删去多余区间，剩下的区间互不包含

将它们排序后，左右端点都严格递增

一个区间 \([l,r]\) 的 \(\text{mex}\) 为 \([1,l)\) 和 \((r,n]\) 的 \(\min\)，考虑排序后的区间序列，显然 \(\min[1,l)\) 递减，\(\min(r,n]\) 递增

从而可以二分 \(\min[1,l)-\min(r,n]\)，在二分过程中不断更新答案

询问次数 \(2\log_2(n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF293E Close Vertices

点分治后双指针或二维数点即可

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1055F Tree and XOR

一个暴力的实现为二分答案，然后每次 \(O(n\log V)\) 统计数量

改写之，从高到低确定答案每一位是 \(0/1\)，每次暴力统计，时间复杂度不变

对于一个位置，统计的过程是一个指针在树上移动的过程，在从高到低构造答案时可以并行移动，从而做到 \(O(n\log V)\)

此时空间复杂度过大，考虑每次只用 \(\text{Trie}\) 的相邻层，且每次使用的向下递增，可以动态生成并删去更上层的结点，做到空间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1320E Treeland and Viruses

建立虚树后跑多源最短路即可，时间复杂度 \(O(n\log n+\sum (k_i+m_i)\log (k_i+m_i))\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF2135F To the Infinity

令 \(F(u)=f_u(x)\)

对于一个结点 \(u\)，考虑 \(u\) 一直向左儿子移动，经过的右儿子依次为 \(p_{1\sim k}\)，则 \(F(u)=x^{\prod_i F(p_i)}\)

显然 \(F(u)\) 比它儿子的 \(F\) 大，假设从下往上依次得出每个 \(F\) 的排名，将 \(p\) 按排名从大到小排序

定理：假如 \(u\) 对应 \(p_{1\sim k}\)，\(v\) 对应 \(q_{1\sim t}\)，则 \(F(u)<F(v)\) 当且仅当 \(p\) 的字典序 \(<q\)，\(>\) 同理

证明：

• 只考虑 \(<\) 的情况
• 若 \(p\) 为 \(q\) 的前缀则显然
• 否则存在 \(i\) 使得 \(F(p_i)<F(q_i)\)，从而 \(\log_x F(p_i)<\log_x F(q_i)\)，显然 \(x\) 取整数时左右都是整数，从而 \(\log_x F(p_i)+1\le \log_x F(q_i)\)，即 \(x\times F(p_i)\le F(q_i)\)
• 取 \(x>n\)，则 \(F(q_i)> \sum F(p_{i\sim k})\)
• 从而 \(F(u)<F(v)\)

从下往上拓扑排序，用可持久化线段树维护每个结点的 \(\{p\}\)，每次选择 \(F\) 最小的扩展

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)

代码

参考