做题记录 26.3.20

\(\textcolor{purple}\odot\) P8292 [省选联考 2022] 卡牌

令 \(V=2000\)，可知 \(\le V\) 的质数数量为 \(303=\pi(V)=(1+o(1))\times \frac V{\ln V}\)，记为 \(L_1\)

令 \(S=\lfloor\sqrt V\rfloor=44\)，则 \(\le S\) 的质数数量为 \(14=\pi(S)=(2+o(1))\times \frac {\sqrt V}{\ln V}\)，记为 \(L_0\)

称这 \(L_0\) 个为关键质数，\(S+1\sim V\) 中质数为普通质数，两者合称为全体质数

一组询问给出一系列质数，为全体质数的一个子集，\(a_{1\sim n}\) 中每个数也对应全体质数的一个子集，等价于查询有多少 \(a_{1\sim n}\) 的子集使得它们对应子集的并为题目给出的子集的超集

显然一个 \(a_i\) 包含至多一个普通质数，由此将所有 \(a\) 划分为 \(L_1-L_0+1\) 个等价类，设 \(a_i\) 对应关键质数的子集为 \(F_i\)，对应等价类为 \(id_i\)，预处理部分容易做到 \(O(V+n\sqrt V)\)

一次询问中给定的质数也分为关键的 \(S\) 和普通的 \(T\)，对于所有等价类，若不在 \(T\) 中则选择任意，若在 \(T\) 中则至少选择一个，要求选出的所有 \(F\) 之并为 \(S\) 的超集

对于每个等价类预处理 \(c_S\) 表示 \(F\subseteq S\) 的数量，容易高维前缀和做到 \(O(L_1\times L_02^{L_0})\)

则一次询问 \((S,T)\) 中，选出的 \(F\) 之并为 \(S'\) 的子集的方案数为

\[\prod_{g\in G} (2^{c(g)_{S'}}-[g\in T]) \]

其中 \(G\) 表示等价类的集合

对得到的数组做 \(\text{FWT}\)，则可以得到每种选出的 \(F\) 之并对应的方案，从而可以统计答案

这部分暴力实现为 \(O(q(L_12^{L_0}+L_02^{L_0}))\) 的，后面部分勉强可以接受，考虑优化前面部分

实际上 \(g\in G\) 的部分比较稀疏，对于连续一段 \(g\notin G\) 的部分，等价于若干 \(2\) 的幂相乘，因此可以预处理 \(c\) 的前缀和，从而做到 \(O(q(|T|2^{L_0}+L_02^{L_0}))\)

总时间复杂度 \(O(V+n\sqrt V+(\pi(V) \pi(\sqrt V)+\sum c+q\pi(\sqrt V))2^{\pi(\sqrt V)})\)，其中 \(c\) 为询问中给出的质数数量，需要一定的卡常

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) P3082 [USACO13MAR] Necklace G

令 \(f_{i,j}\) 表示 \(s_{1\sim i}\) 的后缀匹配 \(t\) 前缀的最大长度为 \(j\) 时最少需要删去的字符数量，容易做到 \(O(nm)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF17E Palisection

通过马拉车对每个终点预处理最大回文串，得到集合 \(S\)，其中每个 \([l,r]\in S\) 对应一组回文串

题目要求相交的对数，容易转化为求不相交的对数，预处理 \(cl_i\) 和 \(cr_i\) 表示以 \(i\) 为左右端点的回文串数量（每个 \([l,r]\in S\) 对 \(cl\) 和 \(cr\) 的贡献为区间加），则不相交的总对数为 \(\sum_{r<l} cr_r\times cl_l\)

容易做到 \(O(n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2180F1 Control Car (Easy Version)

令 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 表示目前在 \((i,j)\)，要走到 \((n,m)\)，上一步从上方/左侧过来，第三个参数为 \(0\) 表示左侧，此时第四个参数表示 \((i,j)\) 的右上角是否向下（\(0\) 表示是，下同）； \(1\) 表示右侧，此时第四个参数表示 \((i,j)\) 的左下角是否向左；这种情况下可以到达的概率

显然 \(f_{i,j}\) 从 \(f_{i+1,j}\) 和 \(f_{i,j+1}\) 转移而来，容易 \(O(nm)\) 预处理

总时间复杂度 \(O(nm+t)\)

代码

参考

NFLS #P13074. 渐变项链

枚举 \(c_1\)，双线反射容斥，化简后可以得到 \((n,m)\) 的答案为

\[(m+1)\left(\sum_{i\equiv n\pmod {(m+1)}} \binom{2n}i\right)-2^{n+n} \]

当 \(m\ge \sqrt n\) 时直接算，当 \(m<\sqrt n\) 时，令 \(f_{i,j}=\sum_{k\equiv j\pmod {(m+1)}}\binom ij\)，可以做到 \(O(nm)\)

总时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2159D1 Inverse Minimum Partition (Easy Version)

每个右端点在区间权值 \(\le 2\) 的情况下尽量向前，显然至多 \(\log_2(V)\) 段，从而答案上限为 \(O(\log_2(V))\) 的，可以对每个答案求出最大右端点

时间复杂度 \(O(\sum (n\log V+n\log n))\)

代码

参考