做题记录 26.3.14

\(\textcolor{purple}\odot\) CF2172N New Kingdom

分类讨论

当 \(k\) 为奇数时显然无解

讨论 \(b+1\) 和 \(k\) 的大小关系

• \(b+1>k\) 时

  考虑以下结构：\(1\sim r\) 构成环，\(r+1\sim r+s\) 直接连到 \(1\) 上，\(r+s+1\sim n\) 连成一条链然后连到 \(1\) 上

  显然需要满足 \(r\ge 3,s\ge 0,r+s<n\)

  此时割边 \(b=n-r\)，不妨设 \(s\) 为奇数则奇度点数 \(k=s+1\)

  从而 \(r=n-b,s=k-1\)，显然满足 \(r+s=n-b+k-1<n\)

  \(k=0\)，\(b=n-1\)，\(b=n-2\) 三种情况无法构造

• \(b+1=k\) 时

  考虑以下结构：\(1\sim r\) 构成环，\(r+1\sim n\) 直接连到 \(n\)

  显然需要满足 \(r\ge 3,r\le n\)

  此时割边 \(b=n-r\)，从而 \(r=n-b\)

  显然满足 \(r=n-b\le n\)

  \(b=n-1\)，\(b=n-2\) 两种情况无法构造

• \(b+1<k\) 时，考虑以下结构：\(1\sim r\) 构成环，\(r+1\sim n\) 直接连到 \(1\)，环内有若干弦使得奇度点数满足要求

  显然需要满足 \(r\ge 3,r\le n\)

  显然 \(r=n-b\)，\(b=n-1\) 或 \(b=n-2\) 的情况无法构造

  当 \(b=n-r\) 为奇数时，\(r+1\sim n\) 和 \(1\) 都是奇度点，还需要额外 \(k-b-1\) 个奇度点，考虑将 \(2\sim r\) 两两配对（要求每组点不相邻），选出 \(\frac{k-b-1}2\) 组连上弦，显然 \(k-b-1<r\) 因此可以选出，当 \(r>3\) 时必然可以使得每组都不相邻，\(r=3\) 即 \(b=n-3\) 的情况无法构造

  当 \(b=n-r\) 为偶数时，\(r+1\sim n\) 为奇度点，需要额外 \(k-b\) 个奇度点，在 \(1\sim r\) 中匹配即可，当 \(r=3\) 即 \(b=n-3\) 时可能无法构造，其它情况一定可行

还需要考虑 \(k=0\)，\(b=n-1\)，\(b=n-2\)，\(b=n-3,b+1<k\) 的情况

\(k=0\) 时，所有点都是偶度点，由于图连通，必然只有一个边双，否则边双树每个叶子中至少有一个奇度点，因此 \(b>0\) 时无解，若 \(n\ge 3\) 则构造环，若 \(n=1\) 则孤点合法，若 \(n=2\) 则只有一种可能的图，显然不满足要求

\(b=n-2\) 时，显然需要有 \(n-1\) 个边双且其中一个为两点的，显然简单图中不存在两个点的边双，因此必然无解

\(b=n-1\) 时，原图为树，需要有 \(k\) 个奇度点，特判 \(n=1\) 的情况（容易处理），则 \(k=0\) 时显然无解，\(k>0\) 时令 \(2\sim k\) 连向 \(1\)，\(k+1\sim n\) 连为一条链后连到 \(1\) 即可

\(b=n-3,b+1<k\) 时，若 \(n=3\) 则 \(b=0,k=2\) 显然无解，若 \(n=4\) 则 \(b=1,k=4\) 可证同样无解，当 \(n\ge 5\) 时，令 \(1\sim 3\) 连为环，\(4\) 连到 \(2\)，\(5\) 连到 \(3\)，\(6\sim n\) 连到 \(1\) 即可

容易做到 \(O(\sum n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF2178G deCH OR Dations

为每条弦赋随机权值，定义一条链的权值为所有弦的权值的异或和，则 \(i\) 合法当且仅当 \([1,i]\) 内所有弦的异或和 \(=0\)

令 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的弦的权值的异或和，令 \(g_i\) 表示以 \(i\) 结尾的弦的数量的奇偶性，令 \(i\) 表示第 \(i\) 条弦的权值，则

\[g_i=1\oplus \bigoplus_{j\mid j\cap i} g_j \]

\[f_i=(g_i\times w_i)\oplus \bigoplus_{j\mid j\cap i} f_j \]

将环展开，则转化为加入一个带权区间，查询与给定区间有交的所有区间的权值异或和

显然两个端点分别查询有交的权值异或和即可，多余部分会抵消

容易做到 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2170F Build XOR on a Segment

显然答案不超过 \(O(\log V)\)

离线，对右端点扫描线，同时维护 \(mx_{i,x}\) 表示最大的左端点使得区间内可以选出 \(i\) 个数异或和为 \(x\)

时间复杂度 \(O((nV+q)\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF2165D Path Split

显然是 \(\text{DAG}\) 最小链划分，可以转化为二分图匹配

左侧各有 \(2n\) 级，每级有若干点，左侧第 \(i\) 级只会和右侧 \(i\pm 1\) 有连边，从而黑白染色后可以分为独立的两部分，分别考虑

对于其中每一部分，从上往下依次贪心匹配一定不劣

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF2169F Subsequence Problem

显然一个序列合法当且仅当存在一种对于所有 \(1\le i\le k\) 重排列 \(a_{i,1\sim l_i}\) 的方案，使得将它们拼接后为当前序列的子序列

考虑固定每个 \(a_{i,1\sim l_i}\) 的重排列方案后，计算对应的序列数量

为了不重复，假定每个合法序列在其子序列的位置字典序最小处统计

对于最终序列中每个 \(a_{i,l_i}\)，将它的前缀断开，则得到 \(k+1\) 段，其中最后一段可空

第 \(i\) 段由 \(a_{i,1\sim l_i}\) 可分为 \(l_i\) 小段，第 \(j\) 小段最后一个位置为 \(a_{i,j}\)，除了最后一个位置外每个位置不能填 \(a_{i,j\sim l_i}\)

即设第 \(i\) 段的第 \(j\) 小段长度为 \(L_{i,j}\)，则其填色方案数为 \((m-(l_i-j+1))^{L_{i,j}-1}\)

从而答案为

\[\prod_{i=1}^k l_i!\times \sum_{L\mid \sum_i\sum_j L_{i,j}\le n} \prod_{i=1}^k \prod_{j=1}^{l_i} (m-(l_i-j+1))^{L_{i,j}-1}\times m^{n-\sum_i \sum_j L_{i,j}} \]

注意到 \(l_i-j+1\) 只有 \(O(l)\) 种取值，令 \(c_x\) 表示 \(l_i-j+1=x\) 的 \((i,j)\) 数量（特别地 \(c_0=1\)，因为计入最后一个 \(m^{\ast}\)）

则后面部分等价于将长度为 \(n+1\) 的序列划分为 \(\sum c_i\) 段，每一段有参数 \(x\)（确定划分方式后每一段的参数确定），参数为 \(x\) 长度为 \(L\) 的段的贡献系数为 \((m-x)^{L_1}\)

考虑每个 \(c_i\) 分别计算贡献，令 \([x^C] F_e\) 表示 \(c_e\) 组成的段总长度（不含每一段最后一个位置）为 \(C\) 的方案数，显然 \([x^C]F_e=(m-e)^C \binom{c_e+C-1}{C}\)

答案为 \(\prod_{i=1}^k l_i!\times [x^{n-\sum_i l_i}]\prod_e F_e\)

容易做到 \(O(nl\log n)\)

代码

参考