做题记录 26.3.4

QOJ #10202. Exotic … Ancient City

对于一个 \(1\le i\le m\)，令 \(C_w\) 表示取 \(n\times i\) 的网格中边权 \(\le w\) 的边构成的子图的连通块数量，则生成树中边权为 \(w\) 的边数量为 \(C_w-C_{w-1}\)，从而答案为 \(\sum_w (C_w-C_{w-1})\)

问题转化为给定一个边集，对于每种宽度的子图求出连通块数量

枚举 \(i=1\sim m\)，考虑每增加一个时连通块数量的增量

等于 \(n\) 减去新加入的边所产生的连通块合并的数量

受 \(1\sim i-1\) 部分的结构，此时已经有一部分左端点之间形成连通块，之后再次加入边集产生一部分合并

调换两者顺序，并维护此过程导致的增量（增量的增量）

可做到 \(O(n\alpha(n)\omega)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) P6242 【模板】线段树 3（区间最值操作、区间历史最值）

模板题

不考虑历史最值，则每个结点维护：最大值，次大值，最大值数量，总和，非最大值加法标记，最大值加法标记

加入历史最值，则额外维护：非最大值加法标记的历史最大值（从上一次下传之后，下同），最大值加法标记的历史最大值

时间复杂度 \(O(m\log^ 2n)\)

代码